2.2K Suponha que cada unidade monetária introduzida na economia recircule do seguinte modo: 85 \% da unidade original são gastos; em seguida, 85 \% daqueles 0,85 são gastos, e assim por diante. Determine o impacto econômico (o total gasto) se \ 1.000 .000,00$ forem introduzidos na economia.

Passo 1

O enunciado diz que uma injeção de 1{.}000{.}000 unidades monetárias gera uma sequência de gastos sucessivos em que cada rodada corresponde a 85\% da rodada anterior. Esse é um problema clássico de multiplicador no qual precisamos somar uma série geométrica infinita de razão r=0,85.

Passo 2

Modelamos o total gasto S como a soma das parcelas: na primeira rodada gasta-se
1{.}000{.}000\times 0{,}85,
na segunda
1{.}000{.}000\times 0{,}85^2,
e assim por diante. Logo
S = 1{.}000{.}000\sum_{k=1}^{\infty}0{,}85^k.

Passo 3

Para a soma de uma série geométrica infinita com primeiro termo a e razão |r|<1 vale
\sum_{k=1}^{\infty}ar^{k-1}=\frac{a}{1-r}.
Aqui nosso primeiro termo é a=1{.}000{.}000\times0{,}85 e a razão é r=0{,}85. Assim
S =1{.}000{.}000\;\frac{0{,}85}{1-0{,}85} =\frac{0{,}85\times1{.}000{.}000}{0{,}15} =5{.}666\,666{,}67.

Resposta

\$5\,666\,666{,}67

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