2.2N Com auxílio do Exercício 1.6 L calcule o valor da soma \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}.
O conteúdo principal aqui é reconhecer uma soma telescópica: usamos o resultado do Exercício 1.6,L para escrever cada termo como diferença de duas frações que se cancelam em somas parciais.

Passo 2

Observe que
\frac{n}{(n+1)!} =\frac{(n+1)-1}{(n+1)!} =\frac{n+1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+1)!} =\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}.
Essa identidade é a chave para fazer a soma telescopar.

Passo 3

Defina a soma parcial
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{n}{(n+1)!} =\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}\Bigr).
Ao expandir, todos os termos intermediários cancelam, sobrando
S_{N} =\frac{1}{1!}-\frac{1}{(N+1)!} =1-\frac{1}{(N+1)!}.

Passo 4

Para obter a soma infinita, tomamos o limite quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty}S_{N} =\lim_{N\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{(N+1)!}\Bigr) =1-0 =1.

Resposta

O valor da soma é 1.

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