Se 
  é o vetor força, calcule o trabalho realizado por 
  ao longo de uma trajetória 
  parametrizada por 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o trabalho realizado por um vetor força 
  ao longo de uma trajetória 
  parametrizada por 
 , onde 
  varia de 2 a 4. Vamos usar o conceito de trabalho em campos de força, que envolve integrar o produto escalar da força pela derivada da trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de 
  em relação a 
 , que é 
 . Isso nos dá a velocidade ao longo da trajetória.
Passo 3
Agora, expressamos a força 
  ao longo da trajetória 
 . Substituímos 
  e 
  de 
  na expressão da força.
Passo 4
Calculamos o produto escalar entre 
  e 
 .
Passo 5
Finalmente, integramos o resultado de 2t² + 2t + 1 de 
  a 
  para encontrar o trabalho realizado.
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de 2 a 4:
Resposta
O trabalho realizado por 
  ao longo da trajetória 
  é 
  unidades de trabalho.