Calcule 
 , onde 
  é o segmento de reta que inicia em 
  e termina em 
 .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular a integral de linha 
 , onde 
  é um segmento de reta que vai de 
  até 
 .
Conteúdo envolvido:
- Integral de Linha de Função Escalar: Calcula a soma de valores de uma função ao longo de uma curva.
 - Parametrização de Curvas: Representar a reta 
de forma que possamos calcular a integral.  - Cálculo de 
: Diferencial de arco, que nos ajuda a integrar ao longo da curva.  
Vamos precisar parametrizar a reta 
  e aplicar as fórmulas para a integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta 
  que vai do ponto 
  ao ponto 
 . Para isso, usamos um parâmetro 
  que varia de 0 a 1.
As equações paramétricas ficam assim:
Então, a parametrização é 
r(t) = (t, 1 + t, 3)  , onde 
t in [0,1]  .
Passo 3
Agora, vamos calcular o diferencial de arco 
d s  . Para isso, precisamos das derivadas das componentes da parametrização em relação a 
t  .
O diferencial de arco é dado por:
Passo 4
Agora, substituímos as parametrizações na função que vamos integrar. A função dada é 
f(x,y,z) = 2x + 5y z  . Substituindo 
x(t)  , 
y(t)   e 
z(t)  :
Passo 5
Nossa integral agora fica em termos de 
t  :
Podemos fatorar a constante 
raiz2  :
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Avaliado de 
0   a 
1  :
Resposta
A integral vale 
472 raiz2  .