[3,0 pontos] Um sistema LIT e estável, com entrada x(t) e saida y(t), é representado pela função de transferéncia indicada abaixo. Pede-se: (a) determine a regiāo de convergência de H(s); (b) disserte sobre a causalidade do sistema; (c) determine a resposta ao impulso do sistema; (d) determine a equaçăo diferencial que descreve o sistema; (e) determine a saida do sistema para a entrada X(s)=2+s+e^{-2 s}. Apresente todos os passos de resolução e justifique todas as respostas.
H(s)=\frac{2 s+2}{(s-2)\left(s^{2}+2 s+2\right)}
Passo 1
O enunciado pede cinco coisas sobre o sistema LIT (linear e invariante no tempo) e estável com função de transferência dada. Lista clara do que é pedido e o que foi fornecido:
Função de transferência dada:
H(s)=\frac{2 s+2}{(s-2)\left(s^{2}+2 s+2\right)}.
Perguntas:
(a) determinar a região de convergência (ROC) de H(s);
(b) discutir a causalidade do sistema;
(c) determinar a resposta ao impulso h(t) do sistema;
(d) obter a equação diferencial que descreve o sistema (relação entre y(t) e x(t));
(e) calcular a saída quando a entrada tem transformada X(s)=2+s+e^{-2 s}.
Informações relevantes dadas: o sistema é LIT e estável (isto é, a transformada bilateral de Laplace de h(t) converge na linha s=j\omega e h(t) é absolutamente integrável).
Passo 2
Identificar polos e zeros de H(s) — passo necessário para ROC, causalidade e forma de h(t).
Polos: resolver o denominador.
s^{2}+2s+2=(s+1)^2+1,
portanto as raízes são s=-1\pm j. O outro fator dá polo em s=2. Logo os polos são:
s=2,\qquad s=-1\pm j.
Zeros: numerador 2s+2=2(s+1) tem zero em s=-1.
Agora raciocínio sobre ROC: para uma função racional a ROC é uma região vertical (ou faixa) no plano s que não contém polos. Como o sistema é estável, a ROC deve incluir o eixo j\omega (Re(s)=0). Os polos têm partes reais \Re\{2\}=2 e \Re\{-1\pm j\}=-1. A única forma de ter o eixo j\omega incluído é escolher uma ROC que corte entre os polos de parte real -1 e 2, ou seja uma faixa vertical -1<\Re(s)<2. Concluímos:
\text{ROC: }\,-1<\Re(s)<2.
(Justificação: ROC não pode conter polos; deve incluir Res=0 pela estabilidade; a única faixa viável é entre as duas abscissas reais dos polos.)
Passo 3
Dissertação sobre causalidade (o que é causalidade e como decidir aqui).
Definição prática: um sistema LIT é causal se e somente se sua resposta ao impulso h(t)=0 para t<0 (isto é, não responde antes da entrada). Em termos de ROC e polos: para uma função racional, causalidade implica ROC do tipo à direita do maior pólo (ROC \Re(s)>\sigma_{\max}) e a transformada bilateral coincide com a transformada unilateral; em particular, para um sistema causal a ROC é da forma \Re(s)> (maior parte real de pólos).
Aqui o maior polo tem parte real 2. A ROC encontrada é -1<\Re(s)<2, que NÃO é da forma \Re(s)>2. Portanto o sistema não é causal: a ROC indica uma resposta ao impulso que tem partes para t<0 e t>0 (sinal de dois lados). Conclusão:
\text{o sistema NÃO é causal.}
Passo 4
Determinar a resposta ao impulso [h(t)) fazendo expansão em frações parciais e invertendo a transformada, com explicação didática das transformadas usadas.
Inverter a transformada de Laplace usando pares usuais e observando a ROC para decidir se cada termo é direita ou esquerda (isto é, se gera u(t) ou u(-t)):
Par conhecido: \mathcal L\{e^{at}u(t)\}=\dfrac{1}{s-a} com ROC \Re(s)>a. E \mathcal L\{-e^{at}u(-t)\}=\dfrac{1}{s-a} com ROC \Re(s)<a. Portanto o sinal do tempo depende se a ROC está à direita ou à esquerda do polo.
No nosso caso a ROC é -1<\Re(s)<2:
Para o polo s=2: a ROC está à esquerda do polo (pois \Re(s)<2), então o termo \dfrac{1}{s-2} corresponde a uma componente de tempo para t<0: \mathcal L^{-1}\{\dfrac{1}{s-2}\}=-e^{2t}u(-t).
Para os polos em s=-1\pm j: a ROC está à direita desses polos (pois \Re(s)>-1), então os termos com (s+1) e (s+1)^2+1 correspondem a componentes com u(t) (parte para t\ge0).
Observações didáticas rápidas: o sinal negativo no primeiro termo vem do fato de que \dfrac{1}{s-2} com ROC \Re(s)<2 corresponde a -e^{2t}u(-t). O fato de termos mistura de u(-t) e u(t) confirma que h(t) é de dois lados (não causal).]
Passo 5
Verificação de estabilidade (por que a ROC escolhida garante estabilidade e h(t) é absolutamente integrável).
Estabilidade BIBO para LIT exige \int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|\,dt<\infty. As componentes de h(t): para t\to-\infty a porção -\tfrac{3}{5}e^{2t}u(-t) decai exponencialmente (porque e^{2t}\to0 quando t\to-\infty); para t\to+\infty as componentes com e^{-t} decaem exponencialmente. Assim h(t) é absolutamente integrável. Isso é coerente com a ROC incluindo a linha j\omega — característica de estabilidade.
Passo 6
Determinar a equação diferencial que relaciona y(t) e x(t).
Começar da relação Y(s)=H(s)X(s). Rearranjar:
(s-2)(s^2+2s+2)Y(s)=(2s+2)X(s).
Multiplicar o lado esquerdo e simplificar o polinômio do lado de Y(s):
(s-2)(s^2+2s+2)=s^3-2s-4.
Logo
(s^3-2s-4)Y(s)=(2s+2)X(s).
Transformando para domínio do tempo, trocando s por o operador de diferenciação \dfrac{d}{dt} (assumindo condições iniciais nulas inerentes à relação entre transformadas):
\mathcal L\{y^{(3)}(t)\}=s^3Y(s)\quad\text{e}\quad \mathcal L\{y'(t)\}=sY(s)\\ (\text{com IC nulas}).
Portanto a equação diferencial é
\boxed{\,y^{(3)}(t)-2y'(t)-4y(t)=2x'(t)+2x(t).\,}
(Comentário: as derivadas são ordens inteiras; esta é uma EDO linear de coeficientes constantes que descreve o sistema.)
Passo 7
Determinar a saída y(t) para a entrada cuja transformada é X(s)=2+s+e^{-2s}.
Interpretar X(s) no domínio do tempo (dica: transformadas bilaterais usuais de impulsos):
\mathcal L\{\delta(t)\}=1.
\mathcal L\{\delta'(t)\}=s.
\mathcal L\{\delta(t-2)\}=e^{-2s}.
Portanto a entrada no tempo é
x(t)=2\delta(t)+\delta'(t)+\delta(t-2).
Saída por convolução: y(t)=h(t)*x(t). Convolução com deltas é simples: