(
) A corrente em um componente de um circuito é
para
. No instante inicial em que o componente foi ligado à corrente, ele armazenava uma carga de
. Determine a carga total no componente até um instante qualquer
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara):
- A corrente elétrica é
A para . - No instante inicial
o componente já tinha uma carga armazenada igual a C.
A pergunta é: determinar a carga total no componente até um instante qualquer, isto é, encontrar a função que dá a carga em coulombs em função do tempo.
Passo 2
Conceito essencial (é importante entender isso para a prova): a corrente elétrica é a taxa de variação da carga no tempo. Em fórmula,
Isso significa que, para obter a carga
, basta integrar a corrente em relação ao tempo:
onde
é uma constante de integração que será determinada pela condição inicial
C. Em palavras: integrar corrente dá carga; a constante aparece porque integração indefinida só define a primitiva até um valor constante.
Passo 3
Agora montamos a integral usando a expressão dada para
:
Separei em duas integrais para ficar claro:
Passo 4
Calcule as integrais uma a uma:
-
- Para a exponencial, usamos a regra
. Aqui , então
Substituindo:
Simplificando os sinais:
Passo 5
Use a condição inicial
para achar
. Avaliando
em
:
Como isso precisa ser igual a
, obtemos
Passo 6
Substituindo
na expressão geral, obtemos a carga em função do tempo:
Como verificação rápida (útil para a prova): derivando essa
dá
ou seja, recupera corretamente a corrente. Também
, conforme dado.