( \mathbf{1 , 6 7} \mathbf{~ p t} ) A corrente em um componente de um circuito é \boldsymbol{i}(\boldsymbol{t})=\mathbf{4}\left(\boldsymbol{1}-\boldsymbol{e}^{-\mathbf{5} \boldsymbol{t}}\right) A para t \geq 0. No instante inicial em que o componente foi ligado à corrente, ele armazenava uma carga de \boldsymbol{1} / \boldsymbol{5} \boldsymbol{C}. Determine a carga total no componente até um instante qualquer \boldsymbol{t}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara):
  • A corrente elétrica é i(t)=4\bigl(1-e^{-5t}\bigr) A para t\ge 0.
  • No instante inicial t=0 o componente já tinha uma carga armazenada igual a q(0)=\dfrac{1}{5} C.
    A pergunta é: determinar a carga total no componente até um instante qualquer t, isto é, encontrar a função q(t) que dá a carga em coulombs em função do tempo.

Passo 2

Conceito essencial (é importante entender isso para a prova): a corrente elétrica é a taxa de variação da carga no tempo. Em fórmula,
i(t)=\frac{dq}{dt}.
Isso significa que, para obter a carga q(t), basta integrar a corrente em relação ao tempo:
q(t)=\int i(t)\,dt + C,
onde C é uma constante de integração que será determinada pela condição inicial q(0)=\dfrac{1}{5} C. Em palavras: integrar corrente dá carga; a constante aparece porque integração indefinida só define a primitiva até um valor constante.

Passo 3

Agora montamos a integral usando a expressão dada para i(t):
q(t)=\int 4\bigl(1-e^{-5t}\bigr)\,dt + C.
Separei em duas integrais para ficar claro:
q(t)=4\int 1\,dt \;-\;4\int e^{-5t}\,dt + C.

Passo 4

Calcule as integrais uma a uma:
  • \displaystyle \int 1\,dt = t.
  • Para a exponencial, usamos a regra \displaystyle \int e^{at}\,dt=\frac{1}{a}e^{at}. Aqui a=-5, então
\int e^{-5t}\,dt = \frac{1}{-5}e^{-5t} = -\frac{1}{5}e^{-5t}.
Substituindo:
q(t)=4\cdot t \;-\;4\left(-\frac{1}{5}e^{-5t}\right) + C.
Simplificando os sinais:
q(t)=4t + \frac{4}{5}e^{-5t} + C.

Passo 5

Use a condição inicial q(0)=\dfrac{1}{5} para achar C. Avaliando q(t) em t=0:
q(0)=4\cdot 0 + \frac{4}{5}e^{0} + C = \frac{4}{5} + C.
Como isso precisa ser igual a \dfrac{1}{5}, obtemos
\frac{4}{5} + C = \frac{1}{5}\quad\Rightarrow\quad C = \frac{1}{5}-\frac{4}{5} = -\frac{3}{5}.

Passo 6

Substituindo C na expressão geral, obtemos a carga em função do tempo:
q(t)=4t + \frac{4}{5}e^{-5t} - \frac{3}{5}.
Como verificação rápida (útil para a prova): derivando essa q(t)
\frac{dq}{dt}=4 + \frac{4}{5}\cdot(-5)e^{-5t}=4-4e^{-5t}=4\bigl(1-e^{-5t}\bigr)=i(t),
ou seja, recupera corretamente a corrente. Também q(0)=\dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{5}, conforme dado.

Resposta

q(t)=4t+\frac{4}{5}e^{-5t}-\frac{3}{5}\\ \text{C}

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