Considere dois sistemas denotados pelos operadores
e
. O sistema
é linear e invariante no tempo (LIT). O sistema
possui a relaçio entre entrada
e saida
descrita ababo, onde
e
säo constantes. Pedese:
(a) demonstre que, para uma entrada periódica com periodo
, a saida do sistema
também é periódica com periodo
;
(a) demonstre que, para uma entrada periódica com periodo
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Foi dado que o sistema
é linear e invariante no tempo (LIT). - Foi dada a hipótese de entrada periódica com período
; ou seja, a entrada satisfaz
- Pergunta (a): provar que a saída do sistema
também é periódica com período .
Passo 2
Conceitos básicos necessários (explicação didática):
- Para um sistema LIT existe uma função chamada resposta ao impulso, denotada por
. Essa função é a saída do sistema quando a entrada é o impulso de Dirac . - A operação fundamental de um sistema LIT sobre uma entrada
é a convolução entre e . Isso significa que a saída pode ser escrita como
Explicando cada símbolo:
-
é a saída do sistema no instante . -
é a resposta ao impulso avaliada no tempo (variável de integração). -
é a entrada atrasada de . - A integral soma as contribuições de todas as “partes” da entrada ponderadas por
. - A linearidade garante que a saída devido a soma/escala da entrada seja a soma/escala das saídas correspondentes. A invariância no tempo garante que um atraso na entrada resulte no mesmo atraso na saída (sem alterar a forma).
Passo 3
Prova direta usando a integral de convolução (passo a passo):
- Partimos da expressão por convolução para
:
- Calculemos
aplicando a mesma fórmula com substituído por :
- Usamos a periodicidade da entrada
, que diz para todo . Tomando , obtemos
- Substituindo isso na expressão de
temos
- Mas a expressão à direita é exatamente
. Portanto
- Conclusão lógica: a saída
é periódica com período .
Passo 4
Comentários práticos e condições necessárias (explicação didática):
- A demonstração acima é muito direta e usa apenas a forma de convolução. Para que tudo faça sentido tecnicamente, assume-se que a integral de convolução exista (por exemplo, sistema BIBO-estável ou condições que garantam convergência). Se a integral não convergir, a igualdade formal vale, mas pode não representar uma saída finita; em exercícios padrões de teoria de sinais costuma-se admitir a existência da convolução.
- Não foi necessário assumir causalidade ou estabilidade estrita para provar a propriedade de preservação do período: bastam linearidade, invariância no tempo e existência da convolução.
Passo 5
Intuição alternativa (útil para a prova): via séries de Fourier
- Uma entrada periódica com período
pode ser expandida em série de Fourier:
onde
são os coeficientes complexos.
- Um sistema LIT responde a cada exponencial complexa
por uma exponencial na mesma frequência multiplicada por um ganho complexo . Assim a saída é
- Como os termos ainda são combinações de
(mesmas frequências fundamentais), a soma é periódica com o mesmo período . Essa visão mostra também que um LIT não cria novas frequências fundamentais — apenas escala e desloca em fase as existentes.
Resposta
A saída de
é periódica com período
; isto é,
para todo
.