Considere dois sistemas denotados pelos operadores H_{1} e H_{2}. O sistema \mathrm{H}_{1} é linear e invariante no tempo (LIT). O sistema \mathrm{H}_{2} possui a relaçio entre entrada x(t) e saida y(t) descrita ababo, onde A_{0}, \omega_{0} e \phi_{0} säo constantes. Pedese:
(a) demonstre que, para uma entrada periódica com periodo T, a saida do sistema H_{1} também é periódica com periodo T;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dado que o sistema H_{1} é linear e invariante no tempo (LIT).
  • Foi dada a hipótese de entrada periódica com período T; ou seja, a entrada x(t) satisfaz
x(t+T)=x(t)\quad\text{para todo }t.
  • Pergunta (a): provar que a saída do sistema H_{1} também é periódica com período T.

Passo 2

Conceitos básicos necessários (explicação didática):
  • Para um sistema LIT existe uma função chamada resposta ao impulso, denotada por h(t). Essa função é a saída do sistema quando a entrada é o impulso de Dirac \delta(t).
  • A operação fundamental de um sistema LIT sobre uma entrada x(t) é a convolução entre x(t) e h(t). Isso significa que a saída y(t) pode ser escrita como
y(t)= (h * x)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
Explicando cada símbolo:
  • y(t) é a saída do sistema no instante t.
  • h(\tau) é a resposta ao impulso avaliada no tempo \tau (variável de integração).
  • x(t-\tau) é a entrada atrasada de \tau.
  • A integral soma as contribuições de todas as “partes” da entrada ponderadas por h.
  • A linearidade garante que a saída devido a soma/escala da entrada seja a soma/escala das saídas correspondentes. A invariância no tempo garante que um atraso na entrada resulte no mesmo atraso na saída (sem alterar a forma).

Passo 3

Prova direta usando a integral de convolução (passo a passo):
  • Partimos da expressão por convolução para y(t):
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
  • Calculemos y(t+T) aplicando a mesma fórmula com t substituído por t+T:
y(t+T)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t+T-\tau)\,d\tau.
  • Usamos a periodicidade da entrada x, que diz x(s+T)=x(s) para todo s. Tomando s=t-\tau, obtemos
x(t+T-\tau)=x(t-\tau).
  • Substituindo isso na expressão de y(t+T) temos
y(t+T)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
  • Mas a expressão à direita é exatamente y(t). Portanto
y(t+T)=y(t)\quad\text{para todo }t.
  • Conclusão lógica: a saída y(t) é periódica com período T.

Passo 4

Comentários práticos e condições necessárias (explicação didática):
  • A demonstração acima é muito direta e usa apenas a forma de convolução. Para que tudo faça sentido tecnicamente, assume-se que a integral de convolução exista (por exemplo, sistema BIBO-estável ou condições que garantam convergência). Se a integral não convergir, a igualdade formal vale, mas pode não representar uma saída finita; em exercícios padrões de teoria de sinais costuma-se admitir a existência da convolução.
  • Não foi necessário assumir causalidade ou estabilidade estrita para provar a propriedade de preservação do período: bastam linearidade, invariância no tempo e existência da convolução.

Passo 5

Intuição alternativa (útil para a prova): via séries de Fourier
  • Uma entrada periódica com período T pode ser expandida em série de Fourier:
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\,e^{j k \omega_0 t},\qquad \omega_0=\frac{2\pi}{T},
onde c_k são os coeficientes complexos.
  • Um sistema LIT responde a cada exponencial complexa e^{j k \omega_0 t} por uma exponencial na mesma frequência multiplicada por um ganho complexo H(j k \omega_0). Assim a saída é
y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\,H(j k \omega_0)\,e^{j k \omega_0 t}.
  • Como os termos ainda são combinações de e^{j k \omega_0 t} (mesmas frequências fundamentais), a soma é periódica com o mesmo período T. Essa visão mostra também que um LIT não cria novas frequências fundamentais — apenas escala e desloca em fase as existentes.

Resposta

A saída de H_{1} é periódica com período T; isto é, y(t+T)=y(t) para todo t.

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