[3.] O teorema da Existência e Unicidade é aplicável ao problema de valor inicial,
x y^{\prime}-2 y=0, \quad y(1)=1 ?

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
x\,y'(x)-2y(x)=0,\qquad y(1)=1.
O que se pede: verificar se o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf) é aplicável ao problema dado. Informação importante a listar:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e linear.
  • A condição inicial é em x_0=1 com y(1)=1.
  • Notei que o coeficiente da derivada é x; isso pode causar problema em x=0. O ponto inicial x_0=1 não é 0.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão y'=f(x,y), que é a forma exigida pelo teorema. Dividindo ambos os lados por x (válido enquanto x\neq0):
y'=\frac{2}{x}\,y.
A função que aparece no lado direito é
f(x,y)=\frac{2}{x}\,y.
Lembre-se: não se pode dividir por x se x=0. Mas como a condição inicial é em x=1, podemos trabalhar numa vizinhança de x=1 onde x\neq0.

Passo 3

Explicar os requisitos do Teorema de Existência e Unicidade (forma usada aqui, versão local): se f(x,y) for contínua em x e y numa região retangular que contém (x_0,y_0) e, além disso, for Lipschitz em y nessa região (uma maneira prática de garantir isso é ter \partial f/\partial y contínua), então existe uma única solução y(x) passando por (x_0,y_0) definida num intervalo em torno de x_0.
Vou usar a versão com derivada parcial: se f e \partial f/\partial y são contínuas na região, então f é Lipschitz em y.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2}{x}.
Observações:
  • Tanto f(x,y)=\dfrac{2}{x}y quanto \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{2}{x} são funções contínuas sempre que x\neq0.
  • Como o ponto inicial é (x_0,y_0)=(1,1), posso escolher um retângulo ao redor dele que não contenha x=0. Por exemplo, o retângulo
R=\{(x,y)\mid \tfrac{1}{2}\le x\le \tfrac{3}{2},\\ \tfrac{1}{2}\le y\le \tfrac{3}{2}\}
contém (1,1) e em todo R temos x\neq0. Logo f e \partial f/\partial y são contínuas em R.

Passo 5

Aplicação direta do teorema: como f e \partial f/\partial y são contínuas em um retângulo R que contém (1,1), o Teorema de Existência e Unicidade garante que existe uma única solução y(x) do problema de valor inicial em algum intervalo aberto contendo x=1. Em outras palavras: SIM, o teorema é aplicável (pelo menos localmente).

Passo 6

É instrutivo encontrar explicitamente a solução para ver a unicidade na prática. A equação é separável/linear. Faço separação de variáveis:
\frac{dy}{y}=\frac{2}{x}\,dx.
Integrando ambos os lados:
\int\frac{dy}{y}=\int\frac{2}{x}\,dx
\ln|y|=2\ln|x|+C.
Exponentiando,
|y|=e^{C}x^{2}.
Escrevendo constante genérica C_1=e^{C}>0 e permitindo sinal, obtemos a família
y=C_1 x^{2}.

Passo 7

Impor a condição inicial y(1)=1:
1=y(1)=C_1\cdot 1^{2}=C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1=1.
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=x^{2}.
Verificação rápida: y'(x)=2x e
x y'(x)-2y(x)=x\cdot 2x-2x^{2}=0,
logo satisfaz a equação.

Passo 8

Comentários finais e domínio da solução:
  • O Teorema garante existência e unicidade local em torno de x=1. Não podemos aplicar o teorema atravessando x=0 porque f deixa de ser contínua em x=0.
  • A solução explícita y=x^{2} estende-se para todo intervalo que não contenha x=0. Como a condição inicial está em x=1, a solução maximal que contém x=1 é definida em (0,\infty). Assim existe uma solução única em qualquer intervalo aberto contido em (0,\infty).

Resposta

Sim. O Teorema de Existência e Unicidade é aplicável numa vizinhança de x=1, garantindo existência e unicidade local da solução. A solução que satisfaz y(1)=1 é y(x)=x^{2} (válida, por exemplo, em x\in(0,\infty)).

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