[3.] O teorema da Existência e Unicidade é aplicável ao problema de valor inicial,
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial
O que se pede: verificar se o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf) é aplicável ao problema dado. Informação importante a listar:
- A equação diferencial é de primeira ordem e linear.
- A condição inicial é em
com . - Notei que o coeficiente da derivada é
; isso pode causar problema em . O ponto inicial não é .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
, que é a forma exigida pelo teorema. Dividindo ambos os lados por
(válido enquanto
):
A função que aparece no lado direito é
Lembre-se: não se pode dividir por
se
. Mas como a condição inicial é em
, podemos trabalhar numa vizinhança de
onde
.
Passo 3
Explicar os requisitos do Teorema de Existência e Unicidade (forma usada aqui, versão local): se
for contínua em
e
numa região retangular que contém
e, além disso, for Lipschitz em
nessa região (uma maneira prática de garantir isso é ter
contínua), então existe uma única solução
passando por
definida num intervalo em torno de
.
Vou usar a versão com derivada parcial: se
e
são contínuas na região, então
é Lipschitz em
.
Passo 4
Calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Observações:
- Tanto
quanto são funções contínuas sempre que . - Como o ponto inicial é
, posso escolher um retângulo ao redor dele que não contenha . Por exemplo, o retângulo
contém
e em todo
temos
. Logo
e
são contínuas em
.
Passo 5
Aplicação direta do teorema: como
e
são contínuas em um retângulo
que contém
, o Teorema de Existência e Unicidade garante que existe uma única solução
do problema de valor inicial em algum intervalo aberto contendo
. Em outras palavras: SIM, o teorema é aplicável (pelo menos localmente).
Passo 6
É instrutivo encontrar explicitamente a solução para ver a unicidade na prática. A equação é separável/linear. Faço separação de variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando,
Escrevendo constante genérica
e permitindo sinal, obtemos a família
Passo 7
Impor a condição inicial
:
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
Verificação rápida:
e
logo satisfaz a equação.
Passo 8
Comentários finais e domínio da solução:
- O Teorema garante existência e unicidade local em torno de
. Não podemos aplicar o teorema atravessando porque deixa de ser contínua em . - A solução explícita
estende-se para todo intervalo que não contenha . Como a condição inicial está em , a solução maximal que contém é definida em . Assim existe uma solução única em qualquer intervalo aberto contido em .
Resposta
Sim. O Teorema de Existência e Unicidade é aplicável numa vizinhança de
, garantindo existência e unicidade local da solução. A solução que satisfaz
é
(válida, por exemplo, em
).