[4.] Verifique que as funções \varphi \equiv 0 e \varphi(x)=x^{2} são soluções do problema de valor inicial,
x y^{\prime}-2 y=0, \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
x\,y' - 2y = 0,\qquad y(0)=0,
e pede para verificar que as funções \varphi\equiv 0 e \varphi(x)=x^{2} são soluções desse problema.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação diferencial é \;x\,y' - 2y = 0\;.
  • A condição inicial é \;y(0)=0\;.
  • As duas funções a verificar são \varphi(x)\equiv 0 e \varphi(x)=x^{2}.

Passo 2

O que significa “verificar que uma função é solução”?
Significa duas coisas:
  1. A função deve ser diferenciável num intervalo que contenha 0 (para que y' faça sentido em torno de 0).
  2. Substituindo a função e sua derivada na equação diferencial, a igualdade deve ser satisfeita para todo x desse intervalo, e a condição inicial deve ser satisfeita em x=0.
Pequena aula sobre derivadas que vamos usar:
  • A derivada de uma constante é zero. Ou seja, se y(x)\equiv C então y'(x)=0.
  • Regra do poder: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Assim, a derivada de x^{2} é 2x.
    Estas regras são suficientes aqui para calcular as derivadas das funções dadas.

Passo 3

Verificação para \varphi(x)\equiv 0.
  1. Derivada: como \varphi é constante zero, tem-se
\varphi'(x)=0.
  1. Substituição na equação diferencial:
x\,\varphi'(x)-2\varphi(x)=x\cdot 0 - 2\cdot 0 = 0.
A igualdade \;x\,\varphi' - 2\varphi = 0\; é satisfeita para todo x.
  1. Condição inicial:
\varphi(0)=0,
portanto a condição y(0)=0 é satisfeita.
Conclusão parcial: \varphi\equiv 0 é diferenciável em todo \mathbb{R}, satisfaz a equação diferencial e a condição inicial, logo é solução do problema de valor inicial.

Passo 4

Verificação para \varphi(x)=x^{2}.
  1. Derivada usando a regra do poder:
\varphi'(x)=2x.
  1. Substituição na equação diferencial:
x\,\varphi'(x)-2\varphi(x)=x\cdot(2x)-2\cdot(x^{2})=2x^{2}-2x^{2}=0.
A igualdade \;x\,\varphi' - 2\varphi = 0\; é satisfeita para todo x.
  1. Condição inicial:
\varphi(0)=0^{2}=0,
portanto a condição y(0)=0 é satisfeita.
Conclusão parcial: \varphi(x)=x^{2} é diferenciável em todo \mathbb{R}, satisfaz a equação diferencial e a condição inicial, logo é solução do problema de valor inicial.

Passo 5

Comentário didático breve sobre unicidade (para entender por que há duas soluções): se isolarmos y' obtém-se
y'=\frac{2}{x}\,y,
mas o coeficiente \dfrac{2}{x} não está definido em x=0. O teorema padrão de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem exige continuidade dos coeficientes num vizinho de 0; como isso falha aqui, a unicidade não é garantida e múltiplas soluções que satisfazem a mesma condição inicial podem existir — exatamente o que ocorre: tanto \varphi\equiv 0 quanto \varphi(x)=x^{2} são soluções.

Resposta

\varphi(x)\equiv 0
\varphi(x)=x^{2}

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