[4.] Verifique que as funções
e
são soluções do problema de valor inicial,
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede para verificar que as funções
e
são soluções desse problema.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
. - As duas funções a verificar são
e .
Passo 2
O que significa “verificar que uma função é solução”?
Significa duas coisas:
Significa duas coisas:
- A função deve ser diferenciável num intervalo que contenha
(para que faça sentido em torno de ). - Substituindo a função e sua derivada na equação diferencial, a igualdade deve ser satisfeita para todo
desse intervalo, e a condição inicial deve ser satisfeita em .
Pequena aula sobre derivadas que vamos usar:
- A derivada de uma constante é zero. Ou seja, se
então . - Regra do poder: a derivada de
é . Assim, a derivada de é .
Estas regras são suficientes aqui para calcular as derivadas das funções dadas.
Passo 3
Verificação para
.
- Derivada: como
é constante zero, tem-se
- Substituição na equação diferencial:
A igualdade
é satisfeita para todo
.
- Condição inicial:
portanto a condição
é satisfeita.
Conclusão parcial:
é diferenciável em todo
, satisfaz a equação diferencial e a condição inicial, logo é solução do problema de valor inicial.
Passo 4
Verificação para
.
- Derivada usando a regra do poder:
- Substituição na equação diferencial:
A igualdade
é satisfeita para todo
.
- Condição inicial:
portanto a condição
é satisfeita.
Conclusão parcial:
é diferenciável em todo
, satisfaz a equação diferencial e a condição inicial, logo é solução do problema de valor inicial.
Passo 5
Comentário didático breve sobre unicidade (para entender por que há duas soluções): se isolarmos
obtém-se
mas o coeficiente
não está definido em
. O teorema padrão de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem exige continuidade dos coeficientes num vizinho de
; como isso falha aqui, a unicidade não é garantida e múltiplas soluções que satisfazem a mesma condição inicial podem existir — exatamente o que ocorre: tanto
quanto
são soluções.