• 30 Despeja-se água em um recipiente que apresenta um vazamento. A massa m de água no recipiente em função do tempo
é dada por
para
, onde a massa está em gramas e o tempo em segundos. (a) Em que instante a massa de água é máxima? (b) Qual é o valor dessa massa? Qual é a taxa de variação da massa, em quilogramas por minuto, © em
(d) em
?
Passo 1
Resumo da questão: a massa de água no recipiente varia segundo
com
,
em gramas e
em segundos.
Conteúdo: derivadas (para achar ponto de máximo e taxa de variação) e conversão de unidades (g/s para kg/min).
O que vamos precisar:
Conteúdo: derivadas (para achar ponto de máximo e taxa de variação) e conversão de unidades (g/s para kg/min).
O que vamos precisar:
- Calcular a derivada primeira
. - Achar onde
para o máximo. - Usar a derivada segunda para confirmar ser máximo.
- Calcular
no ponto crítico. - Avaliar
em s e s e converter para kg/min.
Passo 2
Derivada e conceito: a derivada
indica a velocidade de variação da massa (g/s). Para achar extremos (máximo ou mínimo) a gente resolve
.
Calculando:
Calculando:
Passo 3
Achar ponto crítico resolvendo
:
Passo 4
Confirmando que é máximo com a segunda derivada:
ou seja, concavidade pra baixo ⇒ ponto crítico é máximo.
Agora a massa máxima:
Agora a massa máxima:
Passo 5
Taxa de variação em g/s no instante dado é
.
Para converter pra kg/min, basta multiplicar por .
(a) em s:
Para converter pra kg/min, basta multiplicar por
(a) em
(b) em
s:
Resposta
a)
b)
c) taxa em
d) taxa em
b)
c) taxa em
d) taxa em