• 30 Despeja-se água em um recipiente que apresenta um vazamento. A massa m de água no recipiente em função do tempo t é dada por m=5,00^0,8-3,00 t+20,00 para t >= 0,00, onde a massa está em gramas e o tempo em segundos. (a) Em que instante a massa de água é máxima? (b) Qual é o valor dessa massa? Qual é a taxa de variação da massa, em quilogramas por minuto, © em t=2,00 se (d) em t=5,00 s ?

Passo 1

Resumo da questão: a massa de água no recipiente varia segundo
m(t)=5,00,t^0,8-3,00,t+20,00
com , em gramas e em segundos.
Conteúdo: derivadas (para achar ponto de máximo e taxa de variação) e conversão de unidades (g/s para kg/min).
O que vamos precisar:
  • Calcular a derivada primeira .
  • Achar onde para o máximo.
  • Usar a derivada segunda para confirmar ser máximo.
  • Calcular no ponto crítico.
  • Avaliar em s e s e converter para kg/min.

Passo 2

Derivada e conceito: a derivada m'(t)=ddtl(5,t^0,8-3,t+20r) =5cdot0,8,t^-0,2-3 =4,t^-0,2-3 indica a velocidade de variação da massa (g/s). Para achar extremos (máximo ou mínimo) a gente resolve .
Calculando:

Passo 3

Achar ponto crítico resolvendo 4,t^-0,2-3=0 Longrightarrow 4,t^-0,2=3 Longrightarrow t^-0,2=34 Longrightarrow t^0,2=43 Longrightarrow t=l(43r)^5approx4,21 s :

Passo 4

Confirmando que é máximo com a segunda derivada:
m''(t)=ddtl(4,t^-0,2-3r) =4cdot(-0,2),t^-1,2 =-0,8,t^-1,2<0(forall t>0),
ou seja, concavidade pra baixo ⇒ ponto crítico é máximo.
Agora a massa máxima:
ml((tfrac43)^5r) =5,l((tfrac43)^5r)^0,8 -3,(tfrac43)^5+20 =5,l(tfrac43r)^4 -3,l(tfrac43r)^5+20 approx23,16 g

Passo 5

Taxa de variação em g/s no instante dado é m'(2)=4cdot2^-0,2-3approx0,4822 g/s longrightarrow 0,4822times0,06approx0,0289 kg/min .
Para converter pra kg/min, basta multiplicar por m'(5)=4cdot5^-0,2-3approx-0,1014 g/s longrightarrow -0,1014times0,06approx-0,00608 kg/min .
(a) em s:
(b) em s:

Resposta

a) á
b) á
c) taxa em
d) taxa em

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