3 (30 pontos) Duas estrelas, cada uma de massa m=4,80 \times 10^{22} \mathrm{~kg}, distantes de d=446000 \mathrm{~km}, orbitam em torno do centro de massa do sistema.
(a) Qual a energia potencial do sistema?
(b) Qual a velocidade linear de cada uma das estrelas?
(c) Qual o período de cada estrela?
( G=6,67 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~s}^{-2} )
(a) (A) 1,13 \times 10^{27} \mathrm{~J}, (B) 8,75 \times 10^{26} \mathrm{~J}, (C) 1,57 \times 10^{25} \mathrm{~J}, (D) 5,96 \times 10^{26} \mathrm{~J}, (E) -2,22 \times 10^{26} \mathrm{~J},(\mathrm{~F})-1,19 \times 10^{26} \mathrm{~J}, (G) 1,17 \times 10^{26} \mathrm{~J},(\mathrm{H}) 3,45 \times 10^{26} \mathrm{~J},(\mathrm{I})-4,23 \times 10^{26} \mathrm{~J},(\mathrm{~J})-1,86 \times 10^{27} \mathrm{~J},(\mathrm{~K})-2,58 \times 10^{25} \mathrm{~J},(\mathrm{~L}) 7,10 \times 10^{26} \mathrm{~J}, (M) 9,70 \times 10^{26} \mathrm{~J},(\mathrm{~N})-3,45 \times 10^{26} \mathrm{~J},(\mathrm{O}) 1,34 \times 10^{27} \mathrm{~J},(\mathrm{P})-2,81 \times 10^{24} \mathrm{~J},
(b) (A) 513 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (B) 397 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (C) 216 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (D) 174 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (E) 418 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (F) 157 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (G) 476 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (H) 30,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (I) 112 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (J) 59,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (K) 589 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (L) 305 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (M) 798 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (N) 227 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (O) 141 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, § 246 \mathrm{~km} / \mathrm{h},
(c) (A) 9190 h, (B) 3950 h, (C) 2250 h, (D) 12000 h, (E) 30600 h, (F) 19300 h, (G) 4960 h , (H) 3030 h , (I) $6500 \mathrm{h},(\mathrm{J}) 20800 \mathrm{h},(\mathrm{K}) 5430 \mathrm{h},(\mathrm{L}) 10800 \mathrm{~h},(\mathrm{M}) 4340 \mathrm{h},(\mathrm{N}) 15500 \mathrm{~h},(\mathrm{O}) 949 \mathrm{~h},(\mathrm{P}) 1260 \mathrm{~h}

Passo 1

O enunciado dá duas estrelas idênticas, cada uma com massa \,m=4{,}80\times10^{22}\\ \mathrm{kg}\,, separadas por uma distância entre centros \,d=446000\\ \mathrm{km}\,. Constante gravitacional \,G=6{,}67\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}\,. As perguntas são:
(a) Calcular a energia potencial gravitacional do sistema.
(b) Calcular a velocidade linear de cada estrela (assumindo órbitas circulares).
(c) Calcular o período de cada estrela.
Vou usar apenas as informações acima; nada mais será pedido.

Passo 2

Primeiro convertendo a distância para o SI (metros), porque G está em unidades do SI:
d = 446000\\ \mathrm{km} = 446000\times 10^{3}\\ \mathrm{m} = 4{,}46\times10^{8}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Energia potencial gravitacional do par (duas massas m_1 e m_2 separadas por d) é dada por
U = -\frac{G\,m_1 m_2}{d}.
Aqui m_1=m_2=m, então
U = -\frac{G\,m^{2}}{d}.
Explicação rápida: o sinal negativo indica energia vinculada (sistema ligado) — precisamos gastar energia para separar as massas até d\to\infty.

Passo 4

Agora substituímos numericamente. Primeiro calcule m^{2}:
m^{2} = (4{,}80\times10^{22})^{2} = 4{,}80^{2}\times10^{44} = 23{,}04\times10^{44} = 2{,}304\times10^{45}.
Calcule G m^{2}:
Gm^{2} = 6{,}67\times10^{-11}\times 2{,}304\times10^{45} = 15{,}36768\times10^{34} = 1{,}536768\times10^{35}.
Agora divida por d:
\frac{Gm^{2}}{d} = \frac{1{,}536768\times10^{35}}{4{,}46\times10^{8}} = 0{,}3447\times10^{27} = 3{,}447\times10^{26}.
Portanto
U = -3{,}447\times10^{26}\\ \mathrm{J}\approx -3{,}45\times10^{26}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Geometria das órbitas (útil para (b) e (c)): como as massas são iguais, o centro de massa do sistema fica no ponto médio entre elas. Logo cada estrela descreve uma órbita circular de raio
r = \frac{d}{2} = \frac{4{,}46\times10^{8}}{2} = 2{,}23\times10^{8}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Força gravitacional que cada estrela sofre (módulo) é
F_{\text{grav}}=\frac{G m^{2}}{d^{2}}.
Para órbita circular essa força fornece a força centrípeta:
m\frac{v^{2}}{r}=F_{\text{grav}}=\frac{G m^{2}}{d^{2}}.
Isolando v:
v^{2}=\frac{G m^{2}}{d^{2}}\cdot\frac{r}{m}=\frac{G m}{d^{2}}\cdot r.
Como r=d/2, substituímos:
v^{2}=\frac{G m}{d^{2}}\cdot\frac{d}{2}=\frac{G m}{2d},
logo
v=\sqrt{\frac{G m}{2d}}.
Esta fórmula é intuitiva: depende de G, da massa que puxa e da separação total.

Passo 7

Calcule numericamente v. Primeiro o numerador Gm:
Gm = 6{,}67\times10^{-11}\times4{,}80\times10^{22} = 32{,}016\times10^{11} = 3{,}2016\times10^{12}.
O denominador 2d é
2d = 2\times 4{,}46\times10^{8} = 8{,}92\times10^{8}.
Logo
\frac{Gm}{2d}=\frac{3{,}2016\times10^{12}}{8{,}92\times10^{8}}=3{,}588\times10^{3}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Tomando raiz quadrada:
v=\sqrt{3{,}588\times10^{3}} \approx 59{,}92\\ \mathrm{m/s}.
Converter para \mathrm{km/h}: multiplicamos por 3{,}6:
v \approx 59{,}92\times3{,}6 \approx 215{,}7\\ \mathrm{km/h}\approx 216\\ \mathrm{km/h}.

Passo 8

Período T: distância percorrida em uma volta é 2\pi r, então
T=\frac{2\pi r}{v}.
Substituindo r=2{,}23\times10^{8}\\ \mathrm{m} e v\approx59{,}92\\ \mathrm{m/s}:
2\pi r = 2\pi\times2{,}23\times10^{8} \approx 1{,}4018\times10^{9}\\ \mathrm{m}.
Logo
T=\frac{1{,}4018\times10^{9}}{59{,}92}\approx 2{,}339\times10^{7}\\ \mathrm{s}.
Converter para horas ( 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}):
T\approx\frac{2{,}339\times10^{7}}{3600}\approx 6497\\ \mathrm{h}\approx 6500\\ \mathrm{h}.

Passo 9

Pequena verificação de consistência: os valores calculados casam com as opções fornecidas na lista — em particular (a) corresponde à alternativa com U\approx -3{,}45\times10^{26}\\ \mathrm{J}, (b) a alternativa com \approx216\\ \mathrm{km/h} e (c) a alternativa com \approx6500\\ \mathrm{h}. Respire fundo — está tudo coerente!

Resposta

(a) -3{,}45\times10^{26}\\ \mathrm{J}
(b) 216\\ \mathrm{km/h}
(c) 6500\\ \mathrm{h}

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