3 (30 pontos) Duas estrelas, cada uma de massa
, distantes de
, orbitam em torno do centro de massa do sistema.
(a) Qual a energia potencial do sistema?
(b) Qual a velocidade linear de cada uma das estrelas?
(c) Qual o período de cada estrela?
(
)
(a) (A)
, (B)
, (C)
, (D)
, (E)
, (G)
, (M)
,
(b) (A)
, (B)
, (C)
, (D)
, (E)
, (F)
, (G)
, (H)
, (I)
, (J)
, (K)
, (L)
, (M)
, (N)
, (O)
, §
,
(c) (A) 9190 h, (B) 3950 h, (C) 2250 h, (D) 12000 h, (E) 30600 h, (F) 19300 h, (G) 4960 h , (H) 3030 h , (I) $6500 \mathrm{h},(\mathrm{J}) 20800 \mathrm{h},(\mathrm{K}) 5430 \mathrm{h},(\mathrm{L}) 10800 \mathrm{~h},(\mathrm{M}) 4340 \mathrm{h},(\mathrm{N}) 15500 \mathrm{~h},(\mathrm{O}) 949 \mathrm{~h},(\mathrm{P}) 1260 \mathrm{~h}
(a) Qual a energia potencial do sistema?
(b) Qual a velocidade linear de cada uma das estrelas?
(c) Qual o período de cada estrela?
(
(a) (A)
(b) (A)
(c) (A) 9190 h, (B) 3950 h, (C) 2250 h, (D) 12000 h, (E) 30600 h, (F) 19300 h, (G) 4960 h , (H) 3030 h , (I) $6500 \mathrm{h},(\mathrm{J}) 20800 \mathrm{h},(\mathrm{K}) 5430 \mathrm{h},(\mathrm{L}) 10800 \mathrm{~h},(\mathrm{M}) 4340 \mathrm{h},(\mathrm{N}) 15500 \mathrm{~h},(\mathrm{O}) 949 \mathrm{~h},(\mathrm{P}) 1260 \mathrm{~h}
Passo 1
O enunciado dá duas estrelas idênticas, cada uma com massa
, separadas por uma distância entre centros
. Constante gravitacional
. As perguntas são:
(a) Calcular a energia potencial gravitacional do sistema.
(b) Calcular a velocidade linear de cada estrela (assumindo órbitas circulares).
(c) Calcular o período de cada estrela.
Vou usar apenas as informações acima; nada mais será pedido.
(a) Calcular a energia potencial gravitacional do sistema.
(b) Calcular a velocidade linear de cada estrela (assumindo órbitas circulares).
(c) Calcular o período de cada estrela.
Vou usar apenas as informações acima; nada mais será pedido.
Passo 2
Primeiro convertendo a distância para o SI (metros), porque
está em unidades do SI:
Passo 3
Energia potencial gravitacional do par (duas massas
e
separadas por
) é dada por
Aqui
, então
Explicação rápida: o sinal negativo indica energia vinculada (sistema ligado) — precisamos gastar energia para separar as massas até
.
Passo 4
Agora substituímos numericamente. Primeiro calcule
:
Calcule
:
Agora divida por
:
Portanto
Passo 5
Geometria das órbitas (útil para (b) e (c)): como as massas são iguais, o centro de massa do sistema fica no ponto médio entre elas. Logo cada estrela descreve uma órbita circular de raio
Passo 6
Força gravitacional que cada estrela sofre (módulo) é
Para órbita circular essa força fornece a força centrípeta:
Isolando
:
Como
, substituímos:
logo
Esta fórmula é intuitiva: depende de
, da massa que puxa e da separação total.
Passo 7
Calcule numericamente
. Primeiro o numerador
:
O denominador
é
Logo
Tomando raiz quadrada:
Converter para
: multiplicamos por
:
Passo 8
Período
: distância percorrida em uma volta é
, então
Substituindo
e
:
Logo
Converter para horas (
):
Passo 9
Pequena verificação de consistência: os valores calculados casam com as opções fornecidas na lista — em particular (a) corresponde à alternativa com
, (b) a alternativa com
e (c) a alternativa com
. Respire fundo — está tudo coerente!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)