A barra prismática tem uma área da seção transversal A. Supondo que ela esteja submetida a uma carga axial distribuída que aumenta linearmente de w=0 em x=0 a w=w_{0} em x=a e depois decresce linearmente para w=0 em x=2 a, determinar a tensão normal média na barra em função de x no intervalo a<x \leq 2 a.
\end{tabular} \

Passo 1

O enunciado pede a tensão normal média na barra, em função de x, no intervalo a<x\le 2a. As informações dadas são:
\text{Área da seção transversal: }A.Áçã
\text{Carga distribuída (axial) }w(x)\text{ que: }w(0)=0,\;w(a)=w_0,\;w(2a)=0,í
e que varia linearmente de 0 em x=0 até w_0 em x=a, e depois decresce linearmente até 0 em x=2a. Não foram fornecidas outras forças concentradas, então a carga axial ao longo da barra é apenas essa w(x). A tarefa: obter \sigma(x) média (tensão normal média) para a<x\le 2a.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a expressão matemática da distribuição no trecho a<x\le 2a. Como a carga decresce linearmente de w(a)=w_0 até w(2a)=0, uma interpolação linear dá:
w(x)=w_0\frac{2a-x}{a},\qquad a<x\le 2a.
Cheque rápido: se x=a então w(a)=w_0\frac{2a-a}{a}=w_0; se x=2a então w(2a)=0. Perfeito.

Passo 3

Agora preciso relacionar a carga distribuída w(x) com a força axial interna N(x) na seção situada em x. Conceito-chave (explicando devagar):
  • A força axial interna média N(x) na seção é a resultante (soma) das cargas distribuídas em um dos lados da seção, por equilíbrio estático. Uma maneira simples é considerar o segmento à direita da seção (de x até 2a) e somar (integrar) a intensidade w(s) nesse intervalo.
  • Assim, a resultante das cargas sobre o pedaço x\le s\le 2a é
R(x)=\int_{x}^{2a} w(s)\,\mathrm{d}s.
  • Essa resultante R(x) é igual, em módulo, à força axial interna N(x) (o sinal depende da convenção: se as cargas empurram para comprimir a barra, a tensão será compressiva — geralmente representada negativa). Aqui vamos primeiro obter o módulo de N(x) e depois dividir por A para obter a tensão média.

Passo 4

Calcular a integral explicitamente substituindo a expressão de w(s) (troco a variável x por s para integrar):
R(x)=\int_{x}^{2a} w_0\frac{2a-s}{a}\,\mathrm{d}s = \frac{w_0}{a}\int_{x}^{2a}(2a-s)\,\mathrm{d}s.
Faça a integral passo a passo:
\int(2a-s)\,\mathrm{d}s=2a s-\frac{s^{2}}{2}.
Avalia entre s=x e s=2a:
R(x)=\frac{w_0}{a}\Big[\big(2a\cdot(2a)-\tfrac{(2a)^{2}}{2}\big)-\big(2a x-\tfrac{x^{2}}{2}\big)\Big].

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro dos colchetes:
2a\cdot(2a)-\tfrac{(2a)^{2}}{2}=4a^{2}-\tfrac{4a^{2}}{2}=4a^{2}-2a^{2}=2a^{2},
portanto
R(x)=\frac{w_0}{a}\Big(2a^{2}-2a x+\tfrac{x^{2}}{2}\Big).
Multiplicando por \dfrac{w_0}{a}:
R(x)=w_0\Big(2a-2x+\frac{x^{2}}{2a}\Big).
Agora fatoramos de forma mais elegante. Observe que
4a^{2}-4ax+x^{2}=(2a-x)^{2}.
Se multiplicarmos e dividirmos convenientemente obtemos
R(x)=\frac{w_0}{2a}\big(4a^{2}-4ax+x^{2}\big)=\frac{w_0}{2a}(2a-x)^{2}.
Logo a força axial interna (módulo) é
N(x)=\frac{w_0}{2a}(2a-x)^{2},\qquad a<x\le 2a.
(Se adotarmos que as cargas empurram a barra, então a tensão é compressiva e N(x) teria sinal negativo; aqui mantivemos o valor positivo como magnitude.)

Passo 6

A tensão normal média \sigma(x) é a força axial média por unidade de área:
\sigma(x)=\frac{N(x)}{A}.
Substituindo N(x) dado acima:
\sigma(x)=\frac{1}{A}\cdot\frac{w_0}{2a}(2a-x)^{2}=\frac{w_0}{2aA}(2a-x)^{2},\qquad a<x\le 2a.
Interpretação rápida e checagens: em x=2a temos \sigma(2a)=0 (faz sentido: ali a carga termina). Em x=a temos \sigma(a)=\dfrac{w_0}{2aA}\,a^{2}=\dfrac{w_0 a}{2A}, que é o valor da força resultante do triângulo de carga entre a e 2a dividido por A — conferindo consistência.

Resposta

\sigma(x)=\frac{w_0}{2aA}(2a-x)^{2},\qquad a<x\le 2a.

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