A barra prismática tem uma área da seção transversal A. Supondo que ela esteja submetida a uma carga axial distribuída que aumenta linearmente de
em
a
em
e depois decresce linearmente para
em
, determinar a tensão normal média na barra em função de
no intervalo
.
\end{tabular} \
\end{tabular} \
Passo 1
O enunciado pede a tensão normal média na barra, em função de
, no intervalo
. As informações dadas são:
e que varia linearmente de
em
até
em
, e depois decresce linearmente até
em
. Não foram fornecidas outras forças concentradas, então a carga axial ao longo da barra é apenas essa
. A tarefa: obter
média (tensão normal média) para
.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a expressão matemática da distribuição no trecho
. Como a carga decresce linearmente de
até
, uma interpolação linear dá:
Cheque rápido: se
então
; se
então
. Perfeito.
Passo 3
Agora preciso relacionar a carga distribuída
com a força axial interna
na seção situada em
. Conceito-chave (explicando devagar):
- A força axial interna média
na seção é a resultante (soma) das cargas distribuídas em um dos lados da seção, por equilíbrio estático. Uma maneira simples é considerar o segmento à direita da seção (de até ) e somar (integrar) a intensidade nesse intervalo. - Assim, a resultante das cargas sobre o pedaço
é
- Essa resultante
é igual, em módulo, à força axial interna (o sinal depende da convenção: se as cargas empurram para comprimir a barra, a tensão será compressiva — geralmente representada negativa). Aqui vamos primeiro obter o módulo de e depois dividir por para obter a tensão média.
Passo 4
Calcular a integral explicitamente substituindo a expressão de
(troco a variável
por
para integrar):
Faça a integral passo a passo:
Avalia entre
e
:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro dos colchetes:
portanto
Multiplicando por
:
Agora fatoramos de forma mais elegante. Observe que
Se multiplicarmos e dividirmos convenientemente obtemos
Logo a força axial interna (módulo) é
(Se adotarmos que as cargas empurram a barra, então a tensão é compressiva e
teria sinal negativo; aqui mantivemos o valor positivo como magnitude.)
Passo 6
A tensão normal média
é a força axial média por unidade de área:
Substituindo
dado acima:
Interpretação rápida e checagens: em
temos
(faz sentido: ali a carga termina). Em
temos
, que é o valor da força resultante do triângulo de carga entre
e
dividido por
— conferindo consistência.