-30 São dados dois vetores:
\vec{a}=(4,0 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{i}}-(3,0 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{j}} \text { e } \vec{b}=(6,0 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{i}}+(8,0 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{j}} .
Determine o ângulo de \vec{a}-\vec{b}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores (com unidades em metros):
\vec{a}=(4{,}0\,\mathrm{m})\hat{\imath} - (3{,}0\,\mathrm{m})\hat{\jmath}
e
\vec{b}=(6{,}0\,\mathrm{m})\hat{\imath} + (8{,}0\,\mathrm{m})\hat{\jmath}.
A pergunta é: determinar o ângulo do vetor \vec{a}-\vec{b}.
Observação importante (para deixar claro o que iremos calcular): quando eu disser “ângulo do vetor” vou entender o ângulo \theta que o vetor forma com o eixo positivo x, medido no sentido anti-horário, no intervalo convencional 0^\circ \le \theta < 360^\circ. Se quiser outra convenção (por exemplo ângulo entre -180^\circ e 180^\circ) eu também apresento.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular o vetor diferença componente a componente. Subtraímos as componentes em x e em y:
\vec{a}-\vec{b}=(4{,}0-6{,}0)\,\hat{\imath}+(-3{,}0-8{,}0)\,\hat{\jmath}.
Fazendo as contas termo a termo:
\vec{a}-\vec{b}=(-2{,}0)\,\hat{\imath}+(-11{,}0)\,\hat{\jmath}.
Portanto as componentes são x=-2{,}0 e y=-11{,}0 (em metros).

Passo 3

Agora lembramos o conceito: o ângulo \theta que um vetor (x,y) faz com o eixo x satisfaz
\tan\theta=\frac{y}{x},
desde que x\neq 0. Aqui x=-2{,}0 e y=-11{,}0, então a razão é
\frac{y}{x}=\frac{-11{,}0}{-2{,}0}=5{,}5.
Se aplicarmos a função arco-tangente direta obtemos um ângulo de referência
\theta_{\text{ref}}=\arctan\!\left(5{,}5\right).
Numericamente (usando tabela ou calculadora) temos
\theta_{\text{ref}}\approx 79{,}695^\circ.
Esse ângulo de referência é o ângulo entre o vetor e o eixo x quando os sinais de x e y colocam o vetor no primeiro quadrante. Mas no nosso caso as duas componentes são negativas ( x<0 e y<0), ou seja, o vetor está no terceiro quadrante. Para obter o ângulo absoluto \theta medido a partir do eixo +x (no intervalo 0^\circ a 360^\circ) devemos somar 180^\circ ao ângulo de referência:
\theta = 180^\circ + \theta_{\text{ref}} \approx 180^\circ + 79{,}695^\circ = 259{,}695^\circ.
Outra forma de ver a mesma resposta é usar a função \operatorname{atan2}(y,x), que já cuida da correção de quadrante: \operatorname{atan2}(-11{,}0,-2{,}0)\approx 259{,}695^\circ.

Passo 4

Arredondando com uma casa decimal (os dados foram dados com três algarismos, mas aqui uma casa decimal é suficiente para leitura rápida), obtemos
\theta \approx 259{,}7^\circ.
Se preferir expressar o ângulo num intervalo centrado em zero (entre -180^\circ e 180^\circ), subtraímos 360^\circ e obtemos
\theta \approx -100{,}3^\circ.

Resposta

259{,}7^\circ
-100{,}3^\circ

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