Um conjunto cilindro-pistão apresenta inicialmente volume interno igual a \widehat{0,1 \mathrm{~m}^{3}} e contém 2 kg de água a 20^{\circ} \mathrm{C}. Por engano, alguém trava o pistão impedindo seu movimento, enquanto aquecemos a água até o estado de vapor saturado. Determine a temperatura) o volume finaise o trabalho realizado. Caso o pistão não tivesse sido travado, o processo ocorreria a pressão constante e a temperatura final da água seria 40^{\circ} \mathrm{C}, calcule o trabalho realizado nesse caso.

Observações:

  • Não é permitido usar celular.
  • Explique como encontrou a fase, especifique as tabelas e valores utilizados.
  • É permitido a consulta às tabelas de propriedades termodinâmicas e uso de calculadora científica.
  • Duração da prova: 2 horas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas.
  • Dados fornecidos: m = 2\\ \mathrm{kg},\qquad V_{\text{inicial}} = 0,1\\ \mathrm{m}^3,\qquad T_{\text{inicial}} = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Informação do processo 1 (pistão travado): o pistão é travado (volume constante) e aquecemos até o estado de vapor saturado. Pede-se a temperatura final, o volume final e o trabalho realizado nesse caso.
  • Informação do processo 2 (pistão livre): se o pistão não tivesse sido travado, o processo ocorreria à pressão constante e a temperatura final seria 40^\circ\mathrm{C}. Pede-se o trabalho realizado nesse caso.
Observações imediatas a partir do enunciado (sem ainda resolver):
  • O volume total é fixo quando o pistão está travado, então V_{\text{final}} = V_{\text{inicial}} = 0,1\\ \mathrm{m}^3.
  • A massa e o volume total permitem calcular o volume específico inicial: v = \frac{V_{\text{inicial}}}{m}.
  • Para decidir fases (líquido, vapor saturado, mistura), usaremos tabelas de vapor saturado (tabela v_f e v_g em função de T). Vou indicar explicitamente quais valores peguei das tabelas quando os usar.

Passo 2

Calcule o volume específico inicial e identifique a fase inicial (usando tabelas de saturação em 20^\circ\mathrm{C}).
  • Volume específico: v = \frac{V_{\text{inicial}}}{m}=\frac{0,1}{2}=0,05\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  • Valores da tabela de vapor saturado (Tabela de vapor saturado, por exemplo Cengel & Boles ou tabela padrão de vidade do vapor d’água) em 20^\circ\mathrm{C} (estou pegando estes valores da tabela de vapor saturado): v_f(20^\circ\mathrm{C}) \approx 0,001002\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg},
v_g(20^\circ\mathrm{C}) \approx 57,796\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Comentário: peguei estes dados explicitamente da tabela de vapor saturado (linha T=20^\circ\mathrm{C}).
  • Como v_f(20^\circ\mathrm{C}) < v = 0,05 < v_g(20^\circ\mathrm{C}), o estado inicial é uma mistura saturada (líquido + vapor) à temperatura de saturação 20^\circ\mathrm{C}.
  • Podemos calcular a qualidade inicial x (fração em massa de vapor) com a fórmula: x=\frac{v-v_f}{v_g-v_f}.Substituindo: x=\frac{0,05-0,001002}{57,796-0,001002}=\frac{0,048998}{57,794}\approx 0,000848 \\ (\text{ou }0,0848\%).Interpretação: havia uma fração de vapor muito pequena inicialmente; a maior parte da massa era líquido.

Passo 3

Resolver o caso 1 — pistão travado (volume constante) até que todo o sistema seja vapor saturado.
  • Quando aquecemos com volume constante até atingir vapor saturado (qualidade x=1), o volume específico do vapor saturado final deve ser igual ao volume específico total fixo: v_{g}(T_{\text{final}})=v=0,05\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.Ou seja, precisamos encontrar a temperatura de saturação cuja v_g vale 0,05\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  • Para isso consultamos a tabela de vapor saturado (coluna v_g vs T). Da tabela de vapor saturado (valores extraídos da tabela padrão) temos, por exemplo: v_g(230^\circ\mathrm{C}) \approx 0,05888\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg},
v_g(240^\circ\mathrm{C}) \approx 0,04336\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
(Estou explicitando que peguei estes dois pontos da tabela de vapor saturado nas linhas T=230^\circ\mathrm{C} e T=240^\circ\mathrm{C}.)
  • Como v_g decresce com T nessa região e 0,05 está entre 0,05888 e 0,04336, interpola-se linearmente para estimar T_{\text{final}}. A interpolação linear é aceitável aqui porque a variação entre tabelas próximas é quase linear para uma estimativa: T_{\text{final}} = 230^\circ\mathrm{C} + \frac{v_g(230)-v}{v_g(230)-v_g(240)}\times(240-230).Substituindo números: T_{\text{final}} = 230 + \frac{0,05888-0,05}{0,05888-0,04336}\times 10.Calcule passo a passo: 0,05888-0,05 = 0,00888,
0,05888-0,04336 = 0,01552,
\frac{0,00888}{0,01552}\approx 0,5720,
T_{\text{final}} \approx 230 + 0,5720\times 10 \approx 230 + 5,72 = 235,72^\circ\mathrm{C}.
Arredondando sensatamente, vamos usar T_{\text{final}}\approx 235,7^\circ\mathrm{C} (ou 236^\circ\mathrm{C}, dependendo do número de algarismos significativos que você queira).
  • Volume final: como o pistão está travado, o volume total não muda: V_{\text{final}} = V_{\text{inicial}} = 0,1\\ \mathrm{m}^3.(Isso é óbvio mas importante de reafirmar.)
  • Trabalho realizado no processo a volume constante: o trabalho por borda do sistema é W=\int_{V_1}^{V_2} p\,dV.Como V_2=V_1, temos W=0. Portanto o trabalho realizado quando o pistão está travado é nulo.

Passo 4

Explicação didática sobre por que usamos interpolação e por que W=0 no caso travado.
  • Porque tratamos de vapor saturado, as tabelas dão v_g em função de T. Temos v fixo e queremos a T correspondente; a tabela não tem um valor exato para v=0,05 então interpola-se entre duas linhas próximas (230 e 240^\circ\mathrm{C}) para estimar T.
  • Sobre o trabalho: trabalho PV é a área sob a curva p(V). Para um processo isocórico (volume constante) não há deslocamento do pistão, logo a integral \int p\,dV é zero.

Passo 5

Resolver o caso 2 — pistão não travado, processo à pressão constante e T_{\text{final}}=40^\circ\mathrm{C}: calcular o trabalho.
  • Primeiro: qual é a pressão constante do processo? O estado inicial é saturado a 20^\circ\mathrm{C}, portanto a pressão interna inicial é a pressão de saturação a 20^\circ\mathrm{C}. Pegando da tabela de pressão de saturação: p_{\text{sat}}(20^\circ\mathrm{C})\approx 2,339\\ \mathrm{kPa}.(Valor extraído da tabela de pressão de saturação para 20^\circ\mathrm{C}.)
  • O enunciado diz que, se o pistão não tivesse sido travado, o processo ocorreria a essa pressão constante e a temperatura final seria 40^\circ\mathrm{C}. Note que, a p=2{,}339\\ \mathrm{kPa}, a temperatura de saturação é 20^\circ\mathrm{C}; portanto ao aquecer até 40^\circ\mathrm{C} a vapor resultante estaria na região de vapor superaquecido (pois T>T_{\text{sat}}(p)). Para obter o volume específico final do vapor a p constante e T=40^\circ\mathrm{C} podemos:
    • consultar tabelas de vapor superaquecido (se existirem para essa pressão e temperatura), ou
    • usar a aproximação do gás ideal, que é bastante precisa para vapor a pressões tão baixas (2,339 kPa) e temperaturas moderadas.
  • Usaremos a equação dos gases ideais na forma apropriada para vapor d’água: v = \frac{R\,T}{p},onde R é a constante específica do vapor d’água: R=0,4615\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}, T em K e p em kPa. (Nota: 1\\ \mathrm{kPa\cdot m^3}=1\\ \mathrm{kJ}, portanto o produto p\Delta V virará kJ.)
  • Converter temperatura: T_2 = 40^\circ\mathrm{C} = 313{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular v_2: v_2 = \frac{0,4615\times 313{,}15}{2{,}339}=\frac{144{,}539}{2{,}339}\approx 61{,}78\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  • Volume total final: V_2 = m\,v_2 = 2\times 61{,}78 \approx 123{,}56\\ \mathrm{m}^3.
  • Volume inicial (dado): V_1=0{,}1\\ \mathrm{m}^3.
  • Trabalho à pressão constante p é W = p\,(V_2-V_1).Substituindo p em kPa e volumes em \mathrm{m}^3 W em kJ: W = 2{,}339\\ (\mathrm{kPa})\times(123{,}56-0{,}1)\\ (\mathrm{m}^3).Calcule: \Delta V = 123{,}56-0{,}1 = 123{,}46\\ \mathrm{m}^3,
W \approx 2{,}339\times 123{,}46 \approx 288{,}9\\ \mathrm{kJ}.
  • Observação didática: esse grande trabalho aparece porque, a pressão muito baixa de saturação a 20^\circ\mathrm{C} (2,339 kPa), o vapor superaquece e ocupa um volume muito grande quando aquecido a 40^\circ\mathrm{C}; portanto o pistão se deslocaria muito para acomodar esse grande aumento de volume, e o trabalho associado é grande. Usei o gás ideal porque, a tão baixa pressão, o vapor comporta-se muito próximo ao ideal e tabelas de superaquecido podem não ter entradas nessa baixa pressão com precisão prática.

Passo 6

Resumo numérico final (valores com quantidade razoável de algarismos significativos) e incentivo.
  • Resultado do caso com pistão travado: a temperatura final é da ordem de algumas centenas de graus (por interpolação nas tabelas achamos cerca de 235{,}7^\circ\mathrm{C}), o volume final é igual ao inicial e o trabalho é zero.
  • Resultado do caso com pistão livre (pressão constante p_{\text{sat}}(20^\circ\mathrm{C})\approx 2{,}339\\ \mathrm{kPa} e T_{\text{final}}=40^\circ\mathrm{C}): trabalho aproximado 288{,}9\\ \mathrm{kJ}.
Vai ficar tudo certo na prova — é só lembrar: identificar a fase com v e as tabelas, usar interpolação para achar T quando necessário, e aplicar W=\int p\,dV (zero em processo isocórico; p\Delta V em processo isobárico). Força aí — você consegue!

Resposta

T_{\text{final}}\\ (\text{pistão travado})\approx 235{,}7^\circ\mathrm{C}.ã\n
V_{\text{final}}\\ (\text{pistão travado})=0,1\\ \mathrm{m}^3.ã\n
W\\ (\text{pistão travado})=0\\ \mathrm{kJ}.ã\n
W\\ (\text{pistão livre, }T_{\text{f}}=40^\circ\mathrm{C})\approx 288{,}9\\ \mathrm{kJ}.ã

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