31- Se A e B são matrizes n \times n com |A|=2 e |B|=-3, calcule \left|A^{-1} B^{T}\right|.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes n\times n com \lvert A\rvert=2 e \lvert B\rvert=-3 e pede \bigl\lvert A^{-1}B^{T}\bigr\rvert. Vamos usar as propriedades de determinantes: multiplicatividade, determinante da inversa e determinante da transposta.

Passo 2

Pela multiplicatividade do determinante,
\bigl\lvert A^{-1}B^{T}\bigr\rvert \;=\;\bigl\lvert A^{-1}\bigr\rvert\;\cdot\;\bigl\lvert B^{T}\bigr\rvert.

Passo 3

Sabemos que
\bigl\lvert A^{-1}\bigr\rvert = \frac{1}{\lvert A\rvert} = \frac{1}{2}, \qquad \bigl\lvert B^{T}\bigr\rvert = \lvert B\rvert = -3.

Passo 4

Substituindo,
\bigl\lvert A^{-1}B^{T}\bigr\rvert = \frac{1}{2}\cdot(-3) = -\frac{3}{2}.

Resposta

-\tfrac{3}{2}

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