7.31 O ponto de ebulição do nitrogênio é
e
. As constantes de van der Waals e
são dadas no Probl. 7.30. Qual deverá ser a pressão inicial do nitrogênio se desejarmos uma queda de temperatura numa expansão Joule-Thomson de um único estágio de
até seu ponto de ebulição? (A pressão final deve ser 1 atm .)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos no enunciado:
- Ponto de ebulição do nitrogênio:
. Ou seja, temperatura final desejada - Capacidade calorífica molar a pressão constante (molar) dada:
- O enunciado pede uma queda de temperatura numa expansão Joule–Thomson de
até o ponto de ebulição. Portanto a temperatura inicial (antes da válvula) é - Pressão final (após a válvula):
.
- Ponto de ebulição do nitrogênio:
- Informação referida pelo enunciado mas NÃO fornecida aqui: as constantes de van der Waals
e e/ou a expressão numérica de mencionadas no Problema 7.30. Esses valores (ou a expressão numérica) são necessários para obter um resultado numérico. - O que o enunciado pede: determinar a pressão inicial
do nitrogênio tal que, numa expansão Joule–Thomson monoestágio até , a temperatura caia exatamente (de para ).
Passo 2
Conceito e fórmula central (aulas curtas e amistosas).
- A expansão Joule–Thomson é aproximadamente um processo isoentalpico (entalpia molar
constante) quando o fluido passa por uma válvula de estrangulamento sem trabalho e sem troca de calor útil. - A definição prática usada é o coeficiente Joule–Thomson molar:
Ele dá a variação de temperatura quando a pressão muda em um processo isoentalpico. - Uma expressão muito útil, que segue das relações termodinâmicas gerais, é:
onde: -
é a capacidade calorífica molar a pressão constante (aqui ), -
é o volume molar, -
é a temperatura absoluta em kelvin, - os parciais são tomados à pressão constante.
-
- Em palavras: se soubermos como o volume molar varia com
à pressão fixa (isto é, ), conseguimos calcular .
Passo 3
Aplicação ao gás van der Waals — aproximação prática que os livros usam.
- Para um gás que obedece à equação de van der Waals
pode-se, em aproximação de baixa a moderada pressão (isto é, quando se aceita expansão até primeira ordem na não-idealidade), obter uma forma simples e muito usada para : Observações didáticas: - Essa expressão é derivada fazendo uma expansão do volume molar em potências de pressão (ou usando o segundo coeficiente do virial) e inserindo na fórmula de
. O resultado mostra que o sinal de (resfriamento ou aquecimento ao expandir) depende da diferença entre e . - A temperatura de inversão (onde
) na aproximação van der Waals é - Importante: essa fórmula para
usa e nas mesmas unidades de (atenção às unidades na aplicação numérica).
- Essa expressão é derivada fazendo uma expansão do volume molar em potências de pressão (ou usando o segundo coeficiente do virial) e inserindo na fórmula de
Passo 4
Como usar
para obter a queda de temperatura desejada (metodologia passo a passo).
- A variação de temperatura molar ao longo do salto de pressão isoentalpico é
- Se
não variar muito no trajeto (aproximação muitas vezes usada quando e não são gigantes), podemos aproximar onde é um valor representativo do intervalo (por exemplo, avaliado na temperatura média e pressões entre e ). Esta é a aproximação linear que se usa em muitos problemas de prova. - Reorganizando para obter
: - Substituindo a expressão aproximada de
para van der Waals e escolhendo para avaliar na expressão, obtemos com - Portanto, a expressão final a ser usada (fórmula de uso direto) é
Observações sobre sinais e unidades: - Aqui
. Como é negativo (queda de temperatura), se o denominador for positivo teremos como esperado. - Todas as grandezas que aparecem na fórmula (
) devem estar em unidades consistentes (por exemplo, usar junto com em e em ; ou converter tudo para SI: e usar em e em .)
- Aqui
Passo 5
Resumo didático do procedimento final que deve ser feito com os números (quando as constantes estiverem disponíveis) — passo a passo aplicável na prova.
- Calcule
, e (já fizemos: , , ). - Use
. - Obtenha
e (fornecidos no Problema 7.30 — atenção às unidades). - Avalie
- Em seguida calcule
com e (converter para unidades compatíveis se necessário). - Verifique sinais e se
(significa que a expansão resfria). Se o denominador for negativo ou muito pequeno, a aproximação falha e seria preciso integrar numericamente a expressão exata envolvendo .
Passo 6
Motivo pelo qual não estou entregando um valor numérico final (mas já te dei a fórmula que o professor espera que você aplique em prova).
- O enunciado diz que as constantes de van der Waals e
são dadas no Problema 7.30. Essas constantes numéricas ( e ) e/ou a forma numérica de não foram incluídas na pergunta que recebi aqui. - Sem os valores numéricos de
e (ou sem o valor de fornecido no Probl. 7.30) não é possível calcular numericamente . Inventar valores é arriscado e pode levar a resposta errada na prova. - Portanto, forneci:
- toda a teoria necessária (o que é
e de onde vem a fórmula), - a expressão prática aproximada para
no caso van der Waals, - a fórmula direta para
que você deve aplicar, - e expliquei como proceder com unidades e verificação de sinais.
- toda a teoria necessária (o que é
Resposta
Não é possível calcular numericamente
porque os valores das constantes de van der Waals
e
(fornecidos no Probl. 7.30) não foram incluídos. A expressão aproximada que deve ser usada é
com
e
.