7.34 Se um mol de um gás de van der Waals, para o qual pode-se mostrar que
, for expandido isotermicamente de um volume igual a
, o volume líquido, para um volume de
, calcule
para a transformação;
e
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: um mol (
) de um gás de van der Waals com a relação onde é o volume molar. - O gás sofre uma expansão isotérmica do volume inicial igual a
(o volume líquido) até o volume final . - Valores numéricos fornecidos:
- Pedido: calcular
para essa transformação (para mol).
Passo 2
Entendendo a fórmula e a estratégia (aulasinha rápida):
- A energia interna
como função de e tem diferencial total Aqui o processo é isotérmico, ou seja . Logo Isso significa que a variação total de energia interna entre dois volumes é a integral de em relação a . - Portanto a variação de
é
Passo 3
Relacionando a expressão dada com a variável de integração:
- O enunciado deu
, onde é o volume molar . - Para
mol, tem-se (numericamente o volume molar coincide com o volume do sistema), então a integranda fica - Assim
Passo 4
Converter unidades para o SI (muito importante):
- Converter
de para (como é 1 mol, o valor numérico serve como em ): (usei .) - Converter
para : - Confirmar que
já está em unidades compatíveis ( ), que com em produz uma pressão (Pa) como deve ser . Ao integrar Pa vezes obtém-se joules, então as unidades fecham.
Passo 5
Calcular a integral passo a passo:
- Resolver a integral
- A primitiva de
é , logo
Passo 6
Substituir números e calcular cuidadosamente:
- Valores já convertidos:
- Calcular os recíprocos:
- Diferença:
- Multiplicando por
: (Fiz a multiplicação detalhada: .)
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida de unidade e sinal:
- O resultado é positivo:
. Isso significa que, apesar do processo ser isotérmico, a energia interna aumentou porque num gás de van der Waals há dependência de com (a interação entre partículas dá essa contribuição). - Checagem de unidade: Pa
m^{3} = J, então o valor está em joules, tudo consistente.