7.34 Se um mol de um gás de van der Waals, para o qual pode-se mostrar que \left(\partial U / \partial V_{T}=a / \bar{V}^{2}\right., for expandido isotermicamente de um volume igual a b, o volume líquido, para um volume de 20,0 l, calcule \Delta U para a transformação; a=0,136 \mathrm{~m}^{6} \mathrm{~Pa} \mathrm{~mol}^{-2} e b=0,0391 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{mol}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: um mol ( n=1) de um gás de van der Waals com a relação \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=\frac{a}{\bar{V}^{2}},onde \bar{V} é o volume molar.
  • O gás sofre uma expansão isotérmica do volume inicial igual a b (o volume líquido) até o volume final 20{,}0\\ \text{L}.
  • Valores numéricos fornecidos: a=0{,}136\\ \text{m}^{6}\,\text{Pa}\,\text{mol}^{-2},\qquad b=0{,}0391\\ \text{dm}^{3}/\text{mol}.
  • Pedido: calcular \Delta U para essa transformação (para n=1 mol).

Passo 2

Entendendo a fórmula e a estratégia (aulasinha rápida):
  • A energia interna U como função de T e V tem diferencial total dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}dT+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}dV.Aqui o processo é isotérmico, ou seja dT=0. Logo dU=\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}dV.Isso significa que a variação total de energia interna entre dois volumes é a integral de (\partial U/\partial V)_T em relação a V.
  • Portanto a variação de U é \Delta U=\int_{V_i}^{V_f}\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}\,dV.

Passo 3

Relacionando a expressão dada com a variável de integração:
  • O enunciado deu \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=\dfrac{a}{\bar V^{2}}, onde \bar V é o volume molar \bar V=V/n.
  • Para n=1 mol, tem-se \bar V=V (numericamente o volume molar coincide com o volume do sistema), então a integranda fica \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=\frac{a}{V^{2}} \qquad\text{(para }n=1\text{)}.
  • Assim \Delta U=\int_{V_i}^{V_f}\frac{a}{V^{2}}\,dV.

Passo 4

Converter unidades para o SI (muito importante):
  • Converter b de \text{dm}^{3}/\text{mol} para \text{m}^{3} (como é 1 mol, o valor numérico serve como V_i em \text{m}^{3}): b=0{,}0391\\ \text{dm}^{3}/\text{mol}=0{,}0391\\ \text{L}=0{,}0391\times10^{-3}\\ \text{m}^{3}=3{,}91\times10^{-5}\\ \text{m}^{3}.(usei 1\\ \text{L}=1\times10^{-3}\\ \text{m}^{3}.)
  • Converter V_f=20{,}0\\ \text{L} para \text{m}^{3}: V_f=20{,}0\\ \text{L}=20{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}^{3}=0{,}0200\\ \text{m}^{3}.
  • Confirmar que a já está em unidades compatíveis ( \text{m}^{6}\,\text{Pa}\,\text{mol}^{-2}), que com \bar V em \text{m}^{3}/\text{mol} produz uma pressão (Pa) como deve ser (\partial U/\partial V)_T. Ao integrar Pa vezes \text{m}^{3} obtém-se joules, então as unidades fecham.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo:
  • Resolver a integral \Delta U=\int_{V_i}^{V_f}\frac{a}{V^{2}}\,dV =a\int_{V_i}^{V_f}V^{-2}\,dV.
  • A primitiva de V^{-2} é -V^{-1}, logo \Delta U = a\left[-\frac{1}{V}\right]_{V_i}^{V_f} =a\left(-\frac{1}{V_f}+\frac{1}{V_i}\right) =a\left(\frac{1}{V_i}-\frac{1}{V_f}\right).

Passo 6

Substituir números e calcular cuidadosamente:
  • Valores já convertidos: V_i=3{,}91\times10^{-5}\\ \text{m}^{3},\qquad V_f=0{,}0200\\ \text{m}^{3},\qquad a=0{,}136\\ \text{m}^{6}\,\text{Pa}\,\text{mol}^{-2}.
  • Calcular os recíprocos: \frac{1}{V_i}=\frac{1}{3{,}91\times10^{-5}}\approx 2{,}5573\times10^{4}\\ \text{m}^{-3},
\frac{1}{V_f}=\frac{1}{0{,}0200}=50{,}0\\ \text{m}^{-3}.
  • Diferença: \frac{1}{V_i}-\frac{1}{V_f}\approx 2{,}5573\times10^{4}-50{,}0=2{,}5523\times10^{4}\\ \text{m}^{-3}.
  • Multiplicando por a: \Delta U = 0{,}136\times 2{,}5523\times10^{4}\\ \text{J}\approx 3{,}471\!\times10^{3}\\ \text{J}.(Fiz a multiplicação detalhada: 2{,}5523\times10^{4}\times0{,}136=3{,}4711416\times10^{3}.)

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida de unidade e sinal:
  • O resultado é positivo: \Delta U\approx +3{,}47\times10^{3}\\ \text{J}. Isso significa que, apesar do processo ser isotérmico, a energia interna aumentou porque num gás de van der Waals há dependência de U com V (a interação entre partículas dá essa contribuição).
  • Checagem de unidade: Pa \cdotm^{3} = J, então o valor está em joules, tudo consistente.

Resposta

\Delta U \approx +3{,}47\times10^{3}\\ \text{J}

Exercícios relacionados