32- \int x \cdot \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \ln(x)\,dx.
Aqui vamos usar o método de integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as funções a decompor:
u = \ln(x), \quad dv = x\,dx.

Passo 3

Calculamos os diferenciais correspondentes:
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
\int x \ln(x)\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{1}{2}\int x\,dx.

Passo 5

Agora basta integrar \int x\,dx = x^2/2, de modo que
\int x \ln(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4} + C.

Resposta

\frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4} + C

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