33- \int x \cdot \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \cos(x)\,dx.
O conteúdo aqui é o método de integração por partes, cuja fórmula geral é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as funções u e dv de modo a simplificar o cálculo:
u = x, \quad dv = \cos(x)\,dx.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = d(x) = dx, \qquad v = \int \cos(x)\,dx = \sin(x).

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x \cos(x)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\sin(x) - \int \sin(x)\,dx.

Passo 5

Falta só integrar \sin(x). Sabemos que
\int \sin(x)\,dx = -\cos(x),
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\int x \cos(x)\,dx = x\sin(x) - \bigl(-\cos(x)\bigr) + C = x\sin(x) + \cos(x) + C.

Resposta

x\sin(x) + \cos(x) + C

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