32- Mostre que, se
é uma matriz em que cada linha e em cada coluna um e somente um elemento é
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz
em que, em cada linha há exatamente um elemento não nulo e em cada coluna também há exatamente um elemento não nulo. O que queremos mostrar é que
. O conteúdo principal aqui é a fórmula de Leibniz para o determinante e a ideia de que só um termo dessa soma pode ser não nulo.
Passo 2
Definimos uma função
de modo que em cada linha
o único índice de coluna com
seja
. Como cada coluna também tem exatamente um não nulo,
é injetora e, sendo domínio e contradomínio finitos do mesmo tamanho,
é bijetora. Portanto existe uma permutação
tal que
Passo 3
Pela fórmula de Leibniz,
Se
, então existe algum
com
, e nesse caso
pela escolha de
. Logo todos os termos da soma com
valem zero. O único termo que pode ser não nulo é o de
.
Passo 4
Assim
Como cada
foi escolhido como o único não nulo em sua linha, temos
. E
vale
. Portanto
Resposta
Logo,
.