32- Mostre que, se A é uma matriz em que cada linha e em cada coluna um e somente um elemento é \neq 0, então \operatorname{det}(A) \neq 0.

Passo 1

O enunciado diz que A=(a_{ij}) é uma matriz n\times n em que, em cada linha há exatamente um elemento não nulo e em cada coluna também há exatamente um elemento não nulo. O que queremos mostrar é que \det(A)\neq0. O conteúdo principal aqui é a fórmula de Leibniz para o determinante e a ideia de que só um termo dessa soma pode ser não nulo.

Passo 2

Definimos uma função f\colon\{1,2,\dots,n\}\to\{1,2,\dots,n\} de modo que em cada linha i o único índice de coluna com a_{i,j}\neq0 seja j=f(i). Como cada coluna também tem exatamente um não nulo, f é injetora e, sendo domínio e contradomínio finitos do mesmo tamanho, f é bijetora. Portanto existe uma permutação \sigma\in S_n tal que
\sigma(i)=f(i) \quad\text{para todo }i.

Passo 3

Pela fórmula de Leibniz,
\det(A) =\sum_{\pi\in S_n}\mathrm{sgn}(\pi)\,\prod_{i=1}^n a_{i,\pi(i)}.
Se \pi\neq\sigma, então existe algum i com \pi(i)\neq\sigma(i)=f(i), e nesse caso a_{i,\pi(i)}=0 pela escolha de f. Logo todos os termos da soma com \pi\neq\sigma valem zero. O único termo que pode ser não nulo é o de \pi=\sigma.

Passo 4

Assim
\det(A) =\mathrm{sgn}(\sigma)\,\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}.
Como cada a_{i,\sigma(i)} foi escolhido como o único não nulo em sua linha, temos \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}\neq0. E \mathrm{sgn}(\sigma) vale \pm1. Portanto
\det(A)\neq0.

Resposta

Logo, \det(A)\neq0.

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