6-32 Water flowing in a horizontal
-diameter pipe at
and 300 kPa gage enters a
bend reducing section, which connects to a
-diameter vertical pipe. The inlet of the bend is 50 cm above the exit. Neglecting any frictional and gravitational effects, determine the net resultant force exerted on the reducer by the water. Take the momentum-flux correction factor to be 1.04 .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
-
Dados fornecidos:
- Diâmetro na entrada:
. - Velocidade na entrada:
. - Pressão na entrada (gage):
. - A seção de saída é vertical com diâmetro
. - A entrada do curvão está
acima da saída (o enunciado diz isso, mas também pede para negligenciar efeitos gravitacionais). - Negligenciar atrito e efeitos gravitacionais.
- Fator de correção do fluxo de momento (momentum-flux correction factor):
. - Fluido: água (usar densidade
).
- Diâmetro na entrada:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a força resultante líquida exercida no redutor (básicamente: a força que a água exerce sobre o redutor / bend). Espera-se magnitude e direção (ou componentes).
Observações que pego do enunciado:
- Não é dada a pressão de saída
, então será preciso obtê-la usando conservação de energia (Bernoulli), já que atrito e gravidade são negligenciados. - A direção do escoamento: entrada horizontal (vamos tomar como eixo
para a direita) e saída vertical (vamos tomar como eixo , para baixo no sentido do escoamento de saída). Na resolução eu explico e fixo o sistema de referência.
Passo 2
Cálculo das áreas e da velocidade na saída usando continuidade (conservação de massa para escoamento incompressível).
- Área de uma seção circular:
. - Calcular
e :
- Continuidade
. Assim Observação prática: como , então e . - Calcular
: - Vazão volumétrica:
- Vazão mássica (usada no balanço de quantidade de movimento):
Explicação curta (didática): continuidade é só a ideia de “o que entra sai” para líquido incompressível: área menor implica velocidade maior.
Passo 3
Determinar a pressão de saída
usando Bernoulli (negligenciando perda de carga e efeitos gravitacionais).
- Formulação simplificada de Bernoulli entre as seções 1 e 2 (sem elevação e sem perdas):
Aqui cada termo tem significado: -
representa a “energia de pressão” por unidade de massa; -
é a energia cinética por unidade de massa.
-
- Isolar
: - Substituindo valores:
- Comentário físico: como a velocidade aumenta ao reduzir a área, a pressão cai; aqui de
para (valores em gage).
Passo 4
Escrever e explicar o balanço de quantidade de movimento (momento linear) para escoamento estacionário em volume de controle.
- Princípio (forma vetorial, estado estacionário):
onde: -
inclui forças de pressão nas faces abertas e a força exercida pelas paredes sobre o fluido; -
é a vazão mássica; -
é o fator de correção do fluxo de momento (aqui ); isso corrige o efeito de perfil de velocidade não uniforme na seção; -
são vetores velocidade médios nas seções.
-
- Vamos escolher e fixar um sistema de eixos cartesianos:
- Eixo
para a direita (entrada vem na direção ); - Eixo
para cima (saída é vertical para baixo, logo a velocidade de saída será ).
- Eixo
- Vetores velocidade médios:
Explicação didática: o lado direito é a variação do momento que o fluido transporta ao atravessar o CV; o esquerdo são as forças (pressões + força das paredes). Ao resolver, encontramos a força das paredes sobre o fluido; o que o problema pede é a força que a água exerce sobre o redutor — isto é a força oposta.
Passo 5
Determinar as forças de pressão nas faces abertas (componentes).
- Força devida à pressão na face 1 (entrada): a força sobre o fluido devido à pressão externa
na face de área é no sentido : Numericamente: - Força devida à pressão na face 2 (saída): a força sobre o fluido devido à pressão externa
na face de área é no sentido (pressiona a face de saída para dentro do CV, isto é para cima): Numericamente:
Pequena observação geométrica: é fácil confundir sinais — aqui foi considerado o resultado da integral de pressão sobre as faces abertas tomando o vetor normal para fora do CV; o resultado físico mostrado é que a pressão do lado de fora empurra o fluido na direção indicada acima.
Passo 6
Aplicar o balanço vetorial e isolar a força das paredes sobre o fluido; depois obter a força que a água exerce no redutor (que é a força oposta).
- Balanço vetorial:
onde é a força exercida pelas paredes sobre o fluido (aquela que queremos relacionar). - Isolando
: - Mas o problema pede a força exercida pela água sobre o redutor, que é
.
Então:Podemos reorganizar: - Substituir agora os vetores e valores numéricos:
-
. -
. -
. -
.
-
- Componentes (lembrando sinais das direções escolhidas):
- Componente
: (positiva para a direita) - Componente
: (positiva para cima — ou seja, a água puxa/empurra o redutor para cima)
- Componente
Explicação: os termos
e
são fluxo de momento (com correção
), e os termos de pressão empurram as superfícies; a soma dá a força total que a água exerce sobre o redutor.
Passo 7
Calcular magnitude e direção da força resultante.
- Magnitude:
Numérico: - Direção: ângulo
acima do eixo (para a direita):
Interpretação final rápida: a água empurra o redutor essencialmente para a direita e para cima; o módulo da força é cerca de
.