6-32 Water flowing in a horizontal 30-\mathrm{cm}-diameter pipe at 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} and 300 kPa gage enters a 90^{\circ} bend reducing section, which connects to a 15-\mathrm{cm}-diameter vertical pipe. The inlet of the bend is 50 cm above the exit. Neglecting any frictional and gravitational effects, determine the net resultant force exerted on the reducer by the water. Take the momentum-flux correction factor to be 1.04 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro na entrada: D_1=30\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade na entrada: V_1=5\\ \mathrm{m/s}.
    • Pressão na entrada (gage): p_1=300\\ \mathrm{kPa}=300\,000\\ \mathrm{Pa}.
    • A seção de saída é vertical com diâmetro D_2=15\\ \mathrm{cm}=0{,}15\\ \mathrm{m}.
    • A entrada do curvão está 50\\ \mathrm{cm} acima da saída (o enunciado diz isso, mas também pede para negligenciar efeitos gravitacionais).
    • Negligenciar atrito e efeitos gravitacionais.
    • Fator de correção do fluxo de momento (momentum-flux correction factor): \alpha=1{,}04.
    • Fluido: água (usar densidade \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a força resultante líquida exercida no redutor (básicamente: a força que a água exerce sobre o redutor / bend). Espera-se magnitude e direção (ou componentes).
Observações que pego do enunciado:
  • Não é dada a pressão de saída p_2, então será preciso obtê-la usando conservação de energia (Bernoulli), já que atrito e gravidade são negligenciados.
  • A direção do escoamento: entrada horizontal (vamos tomar como eixo x para a direita) e saída vertical (vamos tomar como eixo y, para baixo no sentido do escoamento de saída). Na resolução eu explico e fixo o sistema de referência.

Passo 2

Cálculo das áreas e da velocidade na saída usando continuidade (conservação de massa para escoamento incompressível).
  • Área de uma seção circular: \displaystyle A=\frac{\pi D^2}{4}.
  • Calcular A_1 e A_2: A_1=\frac{\pi D_1^2}{4}=\frac{\pi (0{,}30)^2}{4} \approx 0{,}0706858\\ \mathrm{m^2}.
A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}=\frac{\pi (0{,}15)^2}{4} \approx 0{,}0176715\\ \mathrm{m^2}.
  • Continuidade \Rightarrow Q=A_1 V_1=A_2 V_2. Assim V_2 = V_1\frac{A_1}{A_2}.Observação prática: como D_2=D_1/2, então A_2=(1/4)A_1 e V_2=4V_1.
  • Calcular V_2: V_2 = 4\cdot 5 = 20\\ \mathrm{m/s}.
  • Vazão volumétrica: Q=A_1 V_1 \approx 0{,}0706858\cdot 5 \approx 0{,}353429\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Vazão mássica (usada no balanço de quantidade de movimento): \dot m=\rho Q \approx 1000\cdot 0{,}353429 \approx 353{,}429\\ \mathrm{kg/s}.
Explicação curta (didática): continuidade é só a ideia de “o que entra sai” para líquido incompressível: área menor implica velocidade maior.

Passo 3

Determinar a pressão de saída p_2 usando Bernoulli (negligenciando perda de carga e efeitos gravitacionais).
  • Formulação simplificada de Bernoulli entre as seções 1 e 2 (sem elevação e sem perdas): \frac{p_1}{\rho}+\frac{V_1^2}{2}=\frac{p_2}{\rho}+\frac{V_2^2}{2}.Aqui cada termo tem significado:
    • \dfrac{p}{\rho} representa a “energia de pressão” por unidade de massa;
    • \dfrac{V^2}{2} é a energia cinética por unidade de massa.
  • Isolar p_2: p_2 = p_1 + \tfrac{1}{2}\rho\,(V_1^2-V_2^2).
  • Substituindo valores: p_2 = 300\,000 + \tfrac{1}{2}\cdot 1000\,(5^2-20^2)
p_2 = 300\,000 + 500\,(25-400)=300\,000 + 500\cdot(-375).
p_2 = 300\,000 -187\,500 = 112\,500\\ \mathrm{Pa}.
  • Comentário físico: como a velocidade aumenta ao reduzir a área, a pressão cai; aqui de 300\\ \mathrm{kPa} para 112{,}5\\ \mathrm{kPa} (valores em gage).

Passo 4

Escrever e explicar o balanço de quantidade de movimento (momento linear) para escoamento estacionário em volume de controle.
  • Princípio (forma vetorial, estado estacionário): \sum \vec F_{ext\;sobre\;o\;fluido} = \dot m \left(\alpha_2 \vec V_2 - \alpha_1 \vec V_1\right),onde:
    • \sum \vec F_{ext\;sobre\;o\;fluido} inclui forças de pressão nas faces abertas e a força exercida pelas paredes sobre o fluido;
    • \dot m=\rho Q é a vazão mássica;
    • \alpha é o fator de correção do fluxo de momento (aqui \alpha=1{,}04); isso corrige o efeito de perfil de velocidade não uniforme na seção;
    • \vec V_1,\vec V_2 são vetores velocidade médios nas seções.
  • Vamos escolher e fixar um sistema de eixos cartesianos:
    • Eixo x para a direita (entrada vem na direção +x);
    • Eixo y para cima (saída é vertical para baixo, logo a velocidade de saída será -V_2\\ \hat{\jmath}).
  • Vetores velocidade médios: \vec V_1 = V_1\,\hat{\imath} = 5\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m/s}, \qquad \vec V_2 = -V_2\,\hat{\jmath} = -20\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s}.
Explicação didática: o lado direito é a variação do momento que o fluido transporta ao atravessar o CV; o esquerdo são as forças (pressões + força das paredes). Ao resolver, encontramos a força das paredes sobre o fluido; o que o problema pede é a força que a água exerce sobre o redutor — isto é a força oposta.

Passo 5

Determinar as forças de pressão nas faces abertas (componentes).
  • Força devida à pressão na face 1 (entrada): a força sobre o fluido devido à pressão externa p_1 na face de área A_1 é no sentido +x: \vec F_{p1}=p_1 A_1\,\hat{\imath}.Numericamente: p_1 A_1 = 300\,000\cdot 0{,}0706858 \approx 21\,205{,}74\\ \mathrm{N}.
  • Força devida à pressão na face 2 (saída): a força sobre o fluido devido à pressão externa p_2 na face de área A_2 é no sentido +y (pressiona a face de saída para dentro do CV, isto é para cima): \vec F_{p2}=p_2 A_2\,\hat{\jmath}.Numericamente: p_2 A_2 = 112\,500\cdot 0{,}0176715 \approx 1\,987{,}98\\ \mathrm{N}.
Pequena observação geométrica: é fácil confundir sinais — aqui foi considerado o resultado da integral de pressão sobre as faces abertas tomando o vetor normal para fora do CV; o resultado físico mostrado é que a pressão do lado de fora empurra o fluido na direção indicada acima.

Passo 6

Aplicar o balanço vetorial e isolar a força das paredes sobre o fluido; depois obter a força que a água exerce no redutor (que é a força oposta).
  • Balanço vetorial: \vec F_{p1}+\vec F_{p2}+\vec F_{w}=\dot m\left(\alpha \vec V_2-\alpha \vec V_1\right),onde \vec F_w é a força exercida pelas paredes sobre o fluido (aquela que queremos relacionar).
  • Isolando \vec F_w: \vec F_w = \dot m\left(\alpha \vec V_2-\alpha \vec V_1\right) - \vec F_{p1}-\vec F_{p2}.
  • Mas o problema pede a força exercida pela água sobre o redutor, que é \vec F_{redutor} = -\vec F_w.
    Então: \vec F_{redutor} = -\vec F_w = -\dot m\left(\alpha \vec V_2-\alpha \vec V_1\right) + \vec F_{p1}+\vec F_{p2}.Podemos reorganizar: \vec F_{redutor} = \dot m\left(\alpha \vec V_1-\alpha \vec V_2\right) + \vec F_{p1}+\vec F_{p2}.
  • Substituir agora os vetores e valores numéricos:
    • \dot m\approx 353{,}429\\ \mathrm{kg/s}.
    • \alpha=1{,}04.
    • \alpha \dot m V_1 = 1{,}04\cdot 353{,}429\cdot 5 \approx 1{,}838{,}831\\ \mathrm{N}.
    • \alpha \dot m V_2 = 1{,}04\cdot 353{,}429\cdot 20 \approx 7{,}355{,}323\\ \mathrm{N}.
  • Componentes (lembrando sinais das direções escolhidas):
    • Componente x: F_x = \alpha\dot m V_1 + p_1 A_1 \approx 1{,}838{,}831 + 21{,}205{,}740 \approx 23{,}044{,}571\\ \mathrm{N}.(positiva para a direita)
    • Componente y: F_y = \alpha\dot m V_2 + p_2 A_2 \approx 7{,}355{,}323 + 1{,}987{,}980 \approx 9{,}343{,}303\\ \mathrm{N}.(positiva para cima — ou seja, a água puxa/empurra o redutor para cima)
Explicação: os termos \alpha\dot m V_1 e \alpha\dot m V_2 são fluxo de momento (com correção \alpha), e os termos de pressão empurram as superfícies; a soma dá a força total que a água exerce sobre o redutor.

Passo 7

Calcular magnitude e direção da força resultante.
  • Magnitude: F=\sqrt{F_x^2+F_y^2} =\sqrt{(23\,044{,}571)^2+(9\,343{,}303)^2}\\ \mathrm{N}.Numérico: F\approx 24\,867\\ \mathrm{N}.
  • Direção: ângulo \theta acima do eixo +x (para a direita): \theta=\arctan\!\left(\frac{F_y}{F_x}\right)=\arctan\!\left(\frac{9\,343{,}303}{23\,044{,}571}\right)\approx 22{,}05^\circ.
Interpretação final rápida: a água empurra o redutor essencialmente para a direita e para cima; o módulo da força é cerca de 2{,}49\times 10^{4}\\ \mathrm{N}.

Resposta

F_x \approx 23\,044{,}6\\ \mathrm{N} (direção +x, para a direita)
F_y \approx 9\,343{,}3\\ \mathrm{N} (direção +y, para cima)
|\vec F|\approx 24\,867\\ \mathrm{N}, direção \theta\approx 22{,}05^\circ acima do eixo +x.

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