6-60 Consider an airplane with a jet engine attached to the tail section that expels combustion gases at a rate of
with a velocity of
relative to the plane. During
landing, a thrust reverser (which serves as a brake for the aircraft and facilitates landing on a short runway) is lowered in the path of the exhaust jet, which deflects the exhaust from rearward to
. Determine (a) the thrust (forward force) that the engine produces prior to the insertion of the thrust reverser and (b) the braking force produced after the thrust reverser is deployed.
landing, a thrust reverser (which serves as a brake for the aircraft and facilitates landing on a short runway) is lowered in the path of the exhaust jet, which deflects the exhaust from rearward to
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados ele dá.
-
Perguntas do exercício:
- (a) Qual é a força de tração (thrust, força para frente) que o motor produz antes de inserir o reversor?
- (b) Qual é a força de frenagem produzida depois que o reversor é acionado e desvia o jato de escape para
?
-
Dados fornecidos:
- Taxa de massa dos gases expelidos:
. - Velocidade dos gases relativa ao avião (antes e depois, assumida de mesmo módulo):
. - Direção inicial dos gases: para trás (rearward), isto é, diretamente para o lado de ré do avião.
- Depois da inserção do reversor, o jato é desviado para
(o enunciado diz apenas "para ").
- Taxa de massa dos gases expelidos:
Passo 2
Interpretação do ângulo e escolha de convenção de sinais (muito importante).
-
Precisamos interpretar o que significa "desvia o jato para
". Na prática, o reversor é usado para direcionar o jato para frente, gerando uma força de frenagem. A interpretação mais consistente com isso é: o jato original apontava para trás (isto é, em medidos a partir da direção para frente do avião) e foi defletido por em relação a essa direção de trás — ou seja, o novo jato fica formando um ângulo de em relação ao eixo para frente do avião, apontando para a frente com um pequeno desvio lateral. Em outras palavras, o jato passa a ter uma componente significativa dirigida para frente do avião, produzindo frenagem. Vou usar essa interpretação porque faz sentido físico para um reversor (produzir componente do jato para frente) e é a leitura usual nesse tipo de problema. -
Convenção de eixos:
- Direção positiva
: para frente do avião. - Para o gás, a componente de velocidade na direção
será , onde é o ângulo medido a partir da direção para frente. Assim: - Antes do reversor: jato para trás
. - Depois do reversor (pela interpretação acima):
(porque o jato foi defletido 160° a partir de trás).
- Antes do reversor: jato para trás
- Direção positiva
Passo 3
Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
- Conceito físico: a força (thrust) que o motor exerce sobre o avião é a taxa de variação do momento linear dos gases em relação ao avião. Em regime estacionário e desprezando diferenças de pressão adicionais na saída, a componente
da força sobre o avião é dada por
onde:
-
é a taxa de massa expelida (em ), -
é a componente (para frente) da velocidade dos gases relativa ao avião (em ). - Explicação do sinal: se os gases saem para trás,
é negativo e fica positivo (força para frente); se os gases saem para frente, é positivo e fica negativo (força de frenagem, i.e., para trás). - Observação prática: a fórmula é simplesmente conservação de quantidade de movimento por segundo; não precisa de derivadas complicadas aqui.
Passo 4
Cálculo da força antes do reversor (item (a)), passo a passo.
- Antes do reversor os gases saem diretamente para trás:
. Então a componente da velocidade dos gases é
- Sabendo que
, temos
- Aplicando a fórmula da força:
Substituindo os valores:
- Efetuando a conta:
- Interpretação:
é para frente do avião (positivo), isto é, é a força de tração (thrust) do motor antes do reversor.
Passo 5
Cálculo da força depois do reversor (item (b)), passo a passo.
- Pela interpretação feita no Passo 2, depois do reversor o jato fica formando
em relação à frente do avião (i.e., o jato aponta para frente com desvio de ). A componente para frente da velocidade é
- Numérico:
. Assim
- Aplicando a fórmula
- Efetuando a multiplicação:
- Interpretação: o sinal negativo indica que a força sobre o avião é para trás — ou seja, é uma força de frenagem (braking) de magnitude aproximadamente
.
Resposta
(a)
(força para frente, thrust antes do reversor).
(b) (força de frenagem, isto é,
para trás).
(b)