6-60 Consider an airplane with a jet engine attached to the tail section that expels combustion gases at a rate of 18 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} with a velocity of V=250 \mathrm{~m} / \mathrm{s} relative to the plane. During
landing, a thrust reverser (which serves as a brake for the aircraft and facilitates landing on a short runway) is lowered in the path of the exhaust jet, which deflects the exhaust from rearward to 160^{\circ}. Determine (a) the thrust (forward force) that the engine produces prior to the insertion of the thrust reverser and (b) the braking force produced after the thrust reverser is deployed.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados ele dá.
  • Perguntas do exercício:
    1. (a) Qual é a força de tração (thrust, força para frente) que o motor produz antes de inserir o reversor?
    2. (b) Qual é a força de frenagem produzida depois que o reversor é acionado e desvia o jato de escape para 160^\circ?
  • Dados fornecidos:
    • Taxa de massa dos gases expelidos: \dot{m}=18\\ \mathrm{kg/s}.
    • Velocidade dos gases relativa ao avião (antes e depois, assumida de mesmo módulo): V=250\\ \mathrm{m/s}.
    • Direção inicial dos gases: para trás (rearward), isto é, diretamente para o lado de ré do avião.
    • Depois da inserção do reversor, o jato é desviado para 160^\circ (o enunciado diz apenas "para 160^\circ").

Passo 2

Interpretação do ângulo e escolha de convenção de sinais (muito importante).
  • Precisamos interpretar o que significa "desvia o jato para 160^\circ". Na prática, o reversor é usado para direcionar o jato para frente, gerando uma força de frenagem. A interpretação mais consistente com isso é: o jato original apontava para trás (isto é, em \,180^\circ medidos a partir da direção para frente do avião) e foi defletido por 160^\circ em relação a essa direção de trás — ou seja, o novo jato fica formando um ângulo de 180^\circ-160^\circ=20^\circ em relação ao eixo para frente do avião, apontando para a frente com um pequeno desvio lateral. Em outras palavras, o jato passa a ter uma componente significativa dirigida para frente do avião, produzindo frenagem. Vou usar essa interpretação porque faz sentido físico para um reversor (produzir componente do jato para frente) e é a leitura usual nesse tipo de problema.
  • Convenção de eixos:
    • Direção positiva x: para frente do avião.
    • Para o gás, a componente de velocidade na direção x será v_x = V\cos\theta, onde \theta é o ângulo medido a partir da direção para frente. Assim:
      • Antes do reversor: jato para trás \Rightarrow \theta=180^\circ.
      • Depois do reversor (pela interpretação acima): \theta=20^\circ (porque o jato foi defletido 160° a partir de trás).

Passo 3

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Conceito físico: a força (thrust) que o motor exerce sobre o avião é a taxa de variação do momento linear dos gases em relação ao avião. Em regime estacionário e desprezando diferenças de pressão adicionais na saída, a componente x da força sobre o avião é dada por
F_x = -\dot{m}\,v_x,
onde:
  • \dot{m} é a taxa de massa expelida (em \mathrm{kg/s}),
  • v_x é a componente x (para frente) da velocidade dos gases relativa ao avião (em \mathrm{m/s}).
  • Explicação do sinal: se os gases saem para trás, v_x é negativo e F_x fica positivo (força para frente); se os gases saem para frente, v_x é positivo e F_x fica negativo (força de frenagem, i.e., para trás).
  • Observação prática: a fórmula é simplesmente conservação de quantidade de movimento por segundo; não precisa de derivadas complicadas aqui.

Passo 4

Cálculo da força antes do reversor (item (a)), passo a passo.
  • Antes do reversor os gases saem diretamente para trás: \theta=180^\circ. Então a componente x da velocidade dos gases é
v_x = V\cos(180^\circ).
  • Sabendo que \cos(180^\circ)=-1, temos
v_x = 250\cdot(-1) = -250\\ \mathrm{m/s}.
  • Aplicando a fórmula da força:
F_x = -\dot{m}\,v_x.
Substituindo os valores:
F_x = -\bigl(18\bigr)\cdot\bigl(-250\bigr)\\ \mathrm{N}.
  • Efetuando a conta:
F_x = 18\cdot250 = 4500\\ \mathrm{N}.
  • Interpretação: F_x=4500\\ \mathrm{N} é para frente do avião (positivo), isto é, é a força de tração (thrust) do motor antes do reversor.

Passo 5

Cálculo da força depois do reversor (item (b)), passo a passo.
  • Pela interpretação feita no Passo 2, depois do reversor o jato fica formando \theta=20^\circ em relação à frente do avião (i.e., o jato aponta para frente com desvio de 20^\circ). A componente para frente da velocidade é
v_x = V\cos(20^\circ).
  • Numérico: \cos(20^\circ)\approx 0,9397. Assim
v_x \approx 250\cdot 0,9397 = 234{,}925\\ \mathrm{m/s}.
  • Aplicando a fórmula
F_x = -\dot{m}\,v_x = -18\cdot 234{,}925\\ \mathrm{N}.
  • Efetuando a multiplicação:
F_x \approx -4228{,}65\\ \mathrm{N}.
  • Interpretação: o sinal negativo indica que a força sobre o avião é para trás — ou seja, é uma força de frenagem (braking) de magnitude aproximadamente 4\,229\\ \mathrm{N}.

Resposta

(a) 4500\\ \mathrm{N} (força para frente, thrust antes do reversor).
(b) -4228{,}65\\ \mathrm{N} (força de frenagem, isto é, 4228{,}65\\ \mathrm{N} para trás).

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