7.33 Pode-se mostrar que, para um gás de van der Waals,
. Um mol de um gás de van der Waals a
é expandido adiabática e reversivelmente de
para
. Calcule
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (peguei os números do enunciado):
- Um mol de gás de van der Waals é expandido reversivelmente e adiabaticamente de
para . - Temperatura inicial
. -
. -
. -
. - Número de mols:
.
Conversões para o SI (usei que
e que estamos com 1 mol, então o volume numérico é o volume molar):
-
. -
.
O enunciado pede: calcular
e
para o processo adiabático reversível.
Passo 2
Primeira ideia e fórmulas básicas (aula curta e leve):
-
Primeira lei da termodinâmica (convenção:
trabalho feito pelo sistema): Para um processo adiabático,. Logo, para um processo adiabático reversível entre os estados 1 e 2, Isso já nos diz a relação entree ; porém precisamos dos valores numéricos. -
Energia interna de um gás real (por mol): para um gás qualquer podemos escrever diferencialmenteonde
é a capacidade molar a volume constante e é o volume molar. No enunciado foi dito que Aqui,tem unidades de e, como temos 1 mol, numericamente coincide com em . -
Equação de van der Waals (por mol):
Essas fórmulas vão ser usadas juntas para obter a relação temperatura–volume ao longo da expansão adiabática reversível.
Passo 3
Derivar a relação diferencial útil para o processo adiabático reversível.
Como o processo é adiabático reversível,
e a primeira lei dá
Substituindo
e a expressão de
da van der Waals obtemos
Observe que os termos com
se cancelam:
Essa simplificação é muito útil: reduz o problema a uma equação integrável entre
e
.
Rearranjando e dividindo por
:
Agora integramos entre os estados 1 e 2:
Portanto
e, exponenciando,
Passo 4
Cálculo numérico da temperatura final
.
Valores numéricos usados:
Logo
Calculamos também
e
(usei os volumes em
para 1 mol):
Agora aplico a fórmula:
Portanto
Logo a temperatura final é aproximadamente
.
Passo 5
Cálculo de
usando a expressão diferencial de
.
Para um mol,
A primeira integral é simplesmente
. A segunda integral é elementar:
Portanto
Substituindo valores numéricos (usei
aproximado):
Somando,
Arredondando convenientemente,
.
Comentário físico rápido: o sistema perde energia interna (sinal negativo) porque realizou trabalho na expansão sem receber calor.
Passo 6
Cálculo do trabalho
.
Para um processo reversível, o trabalho feito pelo sistema é
Pela primeira lei com
, temos também
. Usar essa última relação é mais fácil numericamente: já temos
, então
Ou seja,
. (Consistência: se preferir, pode-se também integrar
usando
e a relação entre
e
; dá o mesmo resultado.)
Passo 7
Cálculo de
.
Definição: para um mol,
. Então
Calculam-se
e
pela equação de van der Waals:
Vamos calcular numericamente:
Para
:
Logo
Para
(usando
):
Logo
Portanto
E finalmente
Arredondando:
.