34- A que fração aproximada da densidade do ar ao nível do mar corresponde a densidade do ar no topo do monte Everest, cuja altitude é de 8848 metros?
Escolha uma opção:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pergunta: a que fração aproximada da densidade do ar ao nível do mar corresponde a densidade do ar no topo do Monte Everest, cuja altitude é de
metros?
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
- Altitude do Everest:
. - Queremos a razão entre a densidade do ar no topo e a densidade ao nível do mar, isto é
, onde é a densidade a metros e a densidade ao nível do mar. - As opções são frações:
.
Passo 2
Modelo físico e fórmula que vamos usar (explicação didática passo a passo).
- Começamos com a condição de equilíbrio hidrostático: a pressão varia com a altitude porque a coluna de ar acima pesa. A equação diferencial é
onde
é a pressão,
é a densidade local do ar,
é a aceleração da gravidade e
é a altura. Aqui
vale aproximadamente
.
2) Usamos a equação dos gases ideais para ar (em forma por unidade de massa): , onde
é a constante específica do ar e
é a temperatura absoluta (em Kelvin). Explico cada coisa:
2) Usamos a equação dos gases ideais para ar (em forma por unidade de massa):
-
é a constante dos gases por unidade de massa; para o ar seco . -
é a temperatura absoluta. Para uma estimativa simples tomamos (temperatura média ao nível do mar, C).
- Substituindo
em e dividindo por obtemos
Integrando do nível do mar (
,
) até
obtemos a lei barométrica (para atmosfera aproximadamente isotérmica):
- Com temperatura constante, a densidade é proporcional à pressão (
), logo a densidade obedece a mesma lei exponencial:
Portanto a razão procurada é
Essa fórmula tem uma interpretação física simples:
é a “altura de escala” — dentro de uma atmosfera com temperatura aproximadamente constante, a densidade cai por um fator
a cada
metros.
Passo 3
Calcular a altura de escala
. Usamos
,
e
.
A definição é
A definição é
Fazendo as contas passo a passo:
Agora dividimos por
:
Ou seja, a cada
a densidade cai por um fator
.
Passo 4
Calcular o expoente
com
e
:
Portanto
Passo 5
Avaliar numericamente
. Vou fazer de um jeito que dê para reproduzir sem calculadora de alta precisão: sabemos que
aproximadamente. Então
Para
usamos a aproximação
para
pequeno (ou uma estimativa melhor
). Assim
Logo a razão é aproximadamente
, o que corresponde à fração aproximada
.
Passo 6
Conferência com as opções dadas:
a) — muito menor que
.
b) — bem próximo de
.
c) — muito menor.
d) — muito menor.
Portanto a melhor escolha é a opção b).
a)
b)
c)
d)
Portanto a melhor escolha é a opção b).
Resposta
b)