34- A que fração aproximada da densidade do ar ao nível do mar corresponde a densidade do ar no topo do monte Everest, cuja altitude é de 8848 metros?
Escolha uma opção:
a) 1 / 5
b) 1 / 3
c) 1 / 7
d) 1 / 9

Passo 1

O enunciado pergunta: a que fração aproximada da densidade do ar ao nível do mar corresponde a densidade do ar no topo do Monte Everest, cuja altitude é de 8848 metros?
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
  • Altitude do Everest: h=8848\\ \text{m}.
  • Queremos a razão entre a densidade do ar no topo e a densidade ao nível do mar, isto é \dfrac{\rho(h)}{\rho_0}, onde \rho(h) é a densidade a h metros e \rho_0 a densidade ao nível do mar.
  • As opções são frações: 1/5,\;1/3,\;1/7,\;1/9.

Passo 2

Modelo físico e fórmula que vamos usar (explicação didática passo a passo).
  1. Começamos com a condição de equilíbrio hidrostático: a pressão varia com a altitude porque a coluna de ar acima pesa. A equação diferencial é
\frac{dp}{dh} = -\rho g,
onde p é a pressão, \rho é a densidade local do ar, g é a aceleração da gravidade e h é a altura. Aqui g vale aproximadamente 9,8\\ \text{m/s}^2.
2) Usamos a equação dos gases ideais para ar (em forma por unidade de massa): p = \rho R_s T, onde R_s é a constante específica do ar e T é a temperatura absoluta (em Kelvin). Explico cada coisa:
  • R_s é a constante dos gases por unidade de massa; para o ar seco R_s \approx 287\\ \text{J/(kg·K)}.
  • T é a temperatura absoluta. Para uma estimativa simples tomamos T\approx 288\\ \text{K} (temperatura média ao nível do mar, 15^\circC).
  1. Substituindo p=\rho R_s T em \frac{dp}{dh}=-\rho g e dividindo por p obtemos
\frac{dp}{p} = -\frac{g}{R_s T}\,dh.
Integrando do nível do mar ( h=0, p=p_0) até h obtemos a lei barométrica (para atmosfera aproximadamente isotérmica):
p(h) = p_0 \exp\!\left(-\frac{g h}{R_s T}\right).
  1. Com temperatura constante, a densidade é proporcional à pressão ( \rho = p/(R_s T)), logo a densidade obedece a mesma lei exponencial:
\rho(h) = \rho_0 \exp\!\left(-\frac{g h}{R_s T}\right).
Portanto a razão procurada é
\frac{\rho(h)}{\rho_0} = \exp\!\left(-\frac{g h}{R_s T}\right).
Essa fórmula tem uma interpretação física simples: \displaystyle H=\frac{R_s T}{g} é a “altura de escala” — dentro de uma atmosfera com temperatura aproximadamente constante, a densidade cai por um fator e a cada H metros.

Passo 3

Calcular a altura de escala H. Usamos R_s=287\\ \text{J/(kg·K)}, T=288\\ \text{K} e g=9{,}8\\ \text{m/s}^2.
A definição é
H = \frac{R_s T}{g}.
Fazendo as contas passo a passo:
R_s T = 287 \times 288 = 82656.
Agora dividimos por g:
H = \frac{82656}{9{,}8} \approx 8433\\ \text{m}.
Ou seja, a cada \approx 8433\\ \text{m} a densidade cai por um fator e.

Passo 4

Calcular o expoente -\dfrac{h}{H} com h=8848\\ \text{m} e H\approx 8433\\ \text{m}:
-\frac{h}{H} = -\frac{8848}{8433} \approx -1{,}049.
Portanto
\frac{\rho(h)}{\rho_0} = \exp(-1{,}049).

Passo 5

Avaliar numericamente \exp(-1{,}049). Vou fazer de um jeito que dê para reproduzir sem calculadora de alta precisão: sabemos que \exp(-1)=0{,}3679 aproximadamente. Então
\exp(-1{,}049)=\exp(-1)\cdot\exp(-0{,}049).
Para \exp(-0{,}049) usamos a aproximação \exp(x)\approx 1+x para x pequeno (ou uma estimativa melhor \exp(-0{,}049)\approx 0{,}952). Assim
\exp(-1{,}049)\approx 0{,}3679 \times 0{,}952 \approx 0{,}350.
Logo a razão é aproximadamente 0{,}35, o que corresponde à fração aproximada \dfrac{1}{3}.

Passo 6

Conferência com as opções dadas:
a) 1/5=0{,}20 — muito menor que 0{,}35.
b) 1/3\approx 0{,}333 — bem próximo de 0{,}35.
c) 1/7\approx 0{,}143 — muito menor.
d) 1/9\approx 0{,}111 — muito menor.
Portanto a melhor escolha é a opção b).

Resposta

b) \dfrac{1}{3}

Exercícios relacionados