34. Hiperboloide de uma folha

a. Encontre uma parametrização para o hiperboloide de uma folha x^{2}+y^{2}-z^{2}=1 em termos do ângulo \theta associado com a circunferência x^{2}+y^{2}=r^{2} e o parâmetro hiperbólico u associado com a função hiperbólica r^{2}-z^{2}=1. (Sugestão: \operatorname{cosh} ^{2} u-\operatorname{senh}^{2} u=1.)
b. Generalize o resultado no item (a) para o hiperboloide
\left(x^{2} / a^{2}\right)+\left(y^{2} / b^{2}\right)-\left(z^{2} / c^{2}\right)=1 .

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização do hiperboloide de uma folha definido por
x^{2}+y^{2}-z^{2}=1
em termos de um ângulo \theta (variando em [0,2\pi)) para a circunferência x^{2}+y^{2}=r^{2} e de um parâmetro hiperbólico u para satisfazer r^{2}-z^{2}=1. Vamos usar a identidade hiperbólica
\operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u=1
para cumprir r^{2}-z^{2}=1, e depois expressar x e y em função de r e \theta.

Passo 2

Para garantir r^{2}-z^{2}=1 escolhemos
r=\operatorname{cosh} u \qquad\text{e}\qquad z=\operatorname{sinh} u,
pois a identidade \operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u=1 implica
(\operatorname{cosh} u)^{2}-(\operatorname{sinh} u)^{2}=1.
Logo, o raio da “círcunferência” na projeção xy é r=\operatorname{cosh} u.

Passo 3

Agora, sobre o círculo de raio r no plano xy, usamos a parametrização usual
x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta,
com \theta\in[0,2\pi). Substituindo r=\operatorname{cosh} u, obtemos
x=\operatorname{cosh} u\cos\theta, \quad y=\operatorname{cosh} u\sin\theta, \quad z=\operatorname{sinh} u.
Verificamos que
x^{2}+y^{2}-z^{2} =(\operatorname{cosh} u)^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)-(\operatorname{sinh} u)^{2} =\operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u=1,
como desejado.

Passo 4

Para o caso geral
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
fazemos mudança de escala em cada coordenada. Usamos o mesmo parâmetro hiperbólico u para que
\frac{r^{2}}{(\,\?\,)^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
seja atendido com r ajustado. A escolha padrão é
x=a\operatorname{cosh} u\cos\theta, \quad y=b\operatorname{cosh} u\sin\theta, \quad z=c\operatorname{sinh} u.
De fato,
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} =\operatorname{cosh}^{2}u(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)-\operatorname{sinh}^{2}u =1.

Resposta

a.
x=\operatorname{cosh} u\cos\theta, \quad y=\operatorname{cosh} u\sin\theta, \quad z=\operatorname{sinh} u.
b.
x=a\operatorname{cosh} u\cos\theta, \quad y=b\operatorname{cosh} u\sin\theta, \quad z=c\operatorname{sinh} u.

Exercícios relacionados