34. Hiperboloide de uma folha
a. Encontre uma parametrização para o hiperboloide de uma folha
em termos do ângulo
associado com a circunferência
e o parâmetro hiperbólico
associado com a função hiperbólica
. (Sugestão:
.)
b. Generalize o resultado no item (a) para o hiperboloide
b. Generalize o resultado no item (a) para o hiperboloide
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização do hiperboloide de uma folha definido por
em termos de um ângulo
(variando em
) para a circunferência
e de um parâmetro hiperbólico
para satisfazer
. Vamos usar a identidade hiperbólica
para cumprir
, e depois expressar
e
em função de
e
.
Passo 2
Para garantir
escolhemos
pois a identidade
implica
Logo, o raio da “círcunferência” na projeção
é
.
Passo 3
Agora, sobre o círculo de raio
no plano
, usamos a parametrização usual
com
. Substituindo
, obtemos
Verificamos que
como desejado.
Passo 4
Para o caso geral
fazemos mudança de escala em cada coordenada. Usamos o mesmo parâmetro hiperbólico
para que
seja atendido com
ajustado. A escolha padrão é
De fato,
Resposta
a.
b.