- Primeira fórmula de Green Suponha que
e
sejam funções escalares com derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas em uma região
delimitada por uma superfície lisa por partes e fechada
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a primeira identidade de Green que afirma, para funções escalares
e
com derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas numa região
com fronteira lisa por partes
,
O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss).
Passo 2
Reconhecemos o integrando da superfície como o fluxo do campo vetorial
através de
, pois
Pelo Teorema da Divergência, temos
Logo,
Passo 3
Agora calculamos a divergência de
. Usando a regra do produto para divergência:
Como
, temos
Passo 4
Substituindo esse resultado na integral de volume obtida no Passo 2, concluímos