34- \int \ln (x) d x

Passo 1

Resumimos o enunciado: calcular \displaystyle \int \ln(x)\,dx. O conteúdo necessário é a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv \;=\; u\,v \;-\; \int v\,du.

Passo 2

Escolha de u e dv: definimos
u = \ln(x), \quad dv = dx.
Essa escolha é conveniente porque derivar \ln(x) simplifica a expressão e integrar dx é trivial.

Passo 3

Cálculo de du e v:
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int dx = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes e simplificando:
\int \ln(x)\,dx = u\,v \;-\; \int v\,du = x\ln(x) \;-\; \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(x) \;-\; \int 1\,dx = x\ln(x) - x + C.

Resposta

\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x + C.

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