34 Simplifique a expressão:
\left(\frac{\frac{1}{1+b}+\frac{b}{1-b}}{\frac{1}{1-b}-\frac{b}{1+b}}-\frac{\frac{1}{b}-1}{\frac{1}{b}+1}\right):\left(\frac{\frac{1}{b}-1}{\frac{1}{b}+1}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\left(\frac{\frac{1}{1+b}+\frac{b}{1-b}}{\frac{1}{1-b}-\frac{b}{1+b}}-\frac{\frac{1}{b}-1}{\frac{1}{b}+1}\right):\left(\frac{\frac{1}{b}-1}{\frac{1}{b}+1}+1\right).
Este é um exercício de manipulação de frações algébricas e frações complexas, onde vamos usar soma, subtração e divisão de frações para chegar à forma mais simples.

Passo 2

Definimos
A = \frac{\frac{1}{1+b}+\frac{b}{1-b}}{\frac{1}{1-b}-\frac{b}{1+b}}.
Para o numerador de A temos
N_1 = \frac{1}{1+b} + \frac{b}{1-b} = \frac{(1-b) + b(1+b)}{(1+b)(1-b)} = \frac{1 - b + b + b^2}{1 - b^2} = \frac{1 + b^2}{1 - b^2}.
Para o denominador de A temos
D_1 = \frac{1}{1-b} - \frac{b}{1+b} = \frac{(1+b) - b(1-b)}{(1-b)(1+b)} = \frac{1 + b - b + b^2}{1 - b^2} = \frac{1 + b^2}{1 - b^2}.

Passo 3

Como N_1 = D_1, segue que
A = \frac{N_1}{D_1} = 1.

Passo 4

Definimos
B = \frac{\frac{1}{b}-1}{\frac{1}{b}+1}.
Escrevendo em denominadores comuns no numerador e denominador de B,
\frac{1}{b} - 1 = \frac{1 - b}{b}, \quad \frac{1}{b} + 1 = \frac{1 + b}{b},
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B = \frac{\frac{1 - b}{b}}{\frac{1 + b}{b}} = \frac{1 - b}{1 + b}.

Passo 5

O primeiro parêntese da expressão original é
A - B = 1 - \frac{1 - b}{1 + b} = \frac{(1 + b) - (1 - b)}{1 + b} = \frac{2b}{1 + b}.

Passo 6

O segundo parêntese é
B + 1 = \frac{1 - b}{1 + b} + 1 = \frac{1 - b + 1 + b}{1 + b} = \frac{2}{1 + b}.

Passo 7

Agora dividimos o resultado do passo 5 pelo do passo 6:
\frac{\frac{2b}{1 + b}}{\frac{2}{1 + b}} = \frac{2b}{1 + b} \cdot \frac{1 + b}{2} = b.

Resposta

b

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