35.19 • Uma luz coerente com comprimento de onda de 500 nm passa por fendas estreitas separadas por 0,340 \mathrm{~mm}. A uma distância das fendas que é grande se comparada a seu espaçamento, qual é a diferença de fase (em radianos) entre a luz proveniente das duas fendas a um ângulo de 23,0^{\circ} da linha central?

Passo 1

O enunciado pede a diferença de fase entre a luz proveniente de duas fendas separadas por 0,340\\ \text{mm}, quando observadas a um ângulo de 23,0^\circ em relação à linha central, para luz de comprimento de onda 500\\ \text{nm}.
Informações dadas:
  • Espaçamento entre as fendas: d = 0,340\\ \text{mm}.
  • Comprimento de onda da luz: \lambda = 500\\ \text{nm}.
  • Ângulo medido a partir da linha central: \theta = 23,0^\circ.
O que é pedido:
  • A diferença de fase \varphi (em radianos) entre a luz que sai das duas fendas e chega no ponto formando o ângulo \theta.

Passo 2

Entender a relação entre diferença de caminho e fase.
Quando duas ondas partem de fendas separadas por d e atingem um ponto no mesmo ângulo \theta (regime de Fraunhofer / distância grande comparada a d), a diferença de caminho entre as ondas é dada por
\Delta = d\,\sin\theta.
Explicação curta: projetando as fendas na direção do observador, uma onda percorre um trajeto adicional aproximadamente igual a d\sin\theta; isso vale para observação a grandes distâncias (aproximação de fraunhofer), que é o caso do enunciado.

Passo 3

Relação entre diferença de caminho e diferença de fase.
A fase de uma onda varia com o comprimento percorrido: uma onda de comprimento de onda \lambda ganha 2\pi rad por cada comprimento \lambda percorrido. Portanto a diferença de fase \varphi associada a uma diferença de caminho \Delta é
\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta.
Aqui:
  • \varphi é a diferença de fase (em radianos),
  • \lambda é o comprimento de onda (mesma unidade que \Delta),
  • \Delta é a diferença de caminho entre as duas ondas.
Combinando com \Delta = d\sin\theta temos a fórmula prática
\varphi = \frac{2\pi d \sin\theta}{\lambda}.

Passo 4

Converter todas as quantidades para as mesmas unidades (metros).
  • d = 0,340\\ \text{mm} = 0{,}340\times10^{-3}\\ \text{m} = 3{,}40\times10^{-4}\\ \text{m}.
  • \lambda = 500\\ \text{nm} = 500\times10^{-9}\\ \text{m} = 5{,}00\times10^{-7}\\ \text{m}.
  • \theta = 23,0^\circ (ângulo já em graus; usaremos \sin\theta).

Passo 5

Calcular \sin\theta.
\sin\left(23,0^\circ\right) \approx 0{,}390731.

Passo 6

Calcular a diferença de caminho \Delta.
\Delta = d\,\sin\theta = \left(3{,}40\times10^{-4}\right)\cdot 0{,}390731 \approx 1{,}32849\times10^{-4}\\ \text{m}.

Passo 7

Calcular a diferença de fase \varphi.
Primeiro a razão \dfrac{\Delta}{\lambda}:
\frac{\Delta}{\lambda} \approx \frac{1{,}32849\times10^{-4}}{5{,}00\times10^{-7}} \approx 265{,}698.
Agora a fase:
\varphi = 2\pi\cdot\frac{\Delta}{\lambda} \approx 2\pi\cdot 265{,}698 \approx 1{,}67\times10^{3}\\ \text{rad}.
(Se quiser o valor numérico com mais dígitos: \varphi \approx 1669{,}4\\ \text{rad}.)

Passo 8

Interpretação rápida (útil na prova): esse valor grande indica que a diferença de caminho contém muitas ondas inteiras (a parte inteira de \Delta/\lambda corresponde a múltiplos de 2\pi); para efeitos de interferência às vezes interessa apenas o resto de \varphi módulo 2\pi, mas a pergunta pediu a diferença de fase total em radianos, que foi calculada acima.

Resposta

1{,}67\times10^{3}\\ \text{rad}

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