Duas fendas distantes
uma da outra, colocadas a uma distância de
de uma tela, são iluminadas por uma luz coerente de comprimento de onda igual a 660 nm . A intensidade no centro do máximo central
é igual a
. Qual é a distância sobre a tela entre o centro do máximo central (a) e o primeiro mínimo; (b) e o ponto no qual a intensidade se reduz para
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas distâncias na tela:
- Distância entre as fendas:
. - Distância das fendas à tela:
. - Comprimento de onda da luz:
. - Intensidade no centro (ângulo
) é .
O que é pedido:
(a) a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo;
(b) a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o ponto onde a intensidade vale .
(a) a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo;
(b) a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o ponto onde a intensidade vale
Passo 2
Vamos entender a física básica (passo-a-passo, bem mastigado).
Quando duas fendas idênticas são iluminadas por luz coerente, a diferença de caminho entre os raios que chegam num ponto da tela em direção ao ângulo
é
Essa diferença de caminho corresponde a uma diferença de fase
dada por
Os campos elétricos vindos de cada fenda somam vetorialmente. Para duas fendas iguais, a amplitude resultante tem um fator
multiplicando a amplitude de cada fenda, e a intensidade, que é proporcional ao quadrado da amplitude, fica
onde
é a intensidade máxima (no centro,
, temos
e
). Substituindo
,
Para ligar o ângulo
à posição
sobre a tela (distância vertical a partir do centro), usamos a relação geométrica do triângulo da tela:
Como os ângulos envolvidos aqui são muito pequenos (a tela está bem longe comparada ao espaçamento entre fendas), podemos usar a aproximação pequena-ângulo
Portanto, na prática
e podemos escrever as condições de mínimos e certos níveis de intensidade em termos de
.
Passo 3
Condição para o primeiro mínimo.
Um mínimo de interferência ocorre quando a intensidade é zero, isto é, quando o argumento do cosseno satisfaz
O primeiro mínimo (o mais próximo do centro) ocorre quando
Cancelando
dos dois lados, obtemos
Usando a aproximação
, a posição
do primeiro mínimo (medida a partir do centro) é
Passo 4
Cálculo numérico do item (a).
Primeiro convertendo unidades em metros (com passos):
Agora calcular
Fazendo a conta passo a passo:
Multiplicando por
:
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 5
Condição para o ponto onde
.
Queremos
. Com a fórmula
isso significa
Tomando raiz quadrada (e escolhendo o menor ângulo positivo), temos
O menor argumento positivo que satisfaz isso é
Novamente cancelando
,
Usando
, a posição
(distância do centro até o ponto com intensidade
) é
Observação: esta posição é exatamente metade da posição do primeiro mínimo calculada antes, porque
.
Passo 6
Cálculo numérico do item (b).
Usando a relação já obtida:
Portanto,
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 7
Checagem rápida da validade da aproximação de pequeno ângulo.
Para o primeiro mínimo,
(em radianos), que corresponde a
. Esse valor é muito pequeno, então a aproximação
é perfeitamente adequada aqui.
Resposta
(a)
(b)
(b)