Duas fendas distantes 0,260 \mathrm{~mm} uma da outra, colocadas a uma distância de 0,900 \mathrm{~m} de uma tela, são iluminadas por uma luz coerente de comprimento de onda igual a 660 nm . A intensidade no centro do máximo central \left(\theta=0^{\circ}\right) é igual a I_{0}. Qual é a distância sobre a tela entre o centro do máximo central (a) e o primeiro mínimo; (b) e o ponto no qual a intensidade se reduz para I_{0} / 2 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas distâncias na tela:
  • Distância entre as fendas: d=0,260\\ \mathrm{mm}.
  • Distância das fendas à tela: L=0,900\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento de onda da luz: \lambda=660\\ \mathrm{nm}.
  • Intensidade no centro (ângulo \theta=0) é I_{0}.
O que é pedido:
(a) a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo;
(b) a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o ponto onde a intensidade vale I_{0}/2.

Passo 2

Vamos entender a física básica (passo-a-passo, bem mastigado).
Quando duas fendas idênticas são iluminadas por luz coerente, a diferença de caminho entre os raios que chegam num ponto da tela em direção ao ângulo \theta é
\Delta x = d\sin\theta.
Essa diferença de caminho corresponde a uma diferença de fase \delta dada por
\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x=\frac{2\pi}{\lambda}\,d\sin\theta.
Os campos elétricos vindos de cada fenda somam vetorialmente. Para duas fendas iguais, a amplitude resultante tem um fator 2\cos(\delta/2) multiplicando a amplitude de cada fenda, e a intensidade, que é proporcional ao quadrado da amplitude, fica
I(\theta)=I_{0}\cos^{2}\!\left(\frac{\delta}{2}\right),
onde I_{0} é a intensidade máxima (no centro, \theta=0, temos \delta=0 e I=I_{0}). Substituindo \delta,
I(\theta)=I_{0}\cos^{2}\!\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right).
Para ligar o ângulo \theta à posição y sobre a tela (distância vertical a partir do centro), usamos a relação geométrica do triângulo da tela:
\tan\theta=\frac{y}{L}.
Como os ângulos envolvidos aqui são muito pequenos (a tela está bem longe comparada ao espaçamento entre fendas), podemos usar a aproximação pequena-ângulo
\sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta\approx\frac{y}{L}.
Portanto, na prática
\sin\theta\approx\frac{y}{L},
e podemos escrever as condições de mínimos e certos níveis de intensidade em termos de y.

Passo 3

Condição para o primeiro mínimo.
Um mínimo de interferência ocorre quando a intensidade é zero, isto é, quando o argumento do cosseno satisfaz
\cos\!\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right)=0.
O primeiro mínimo (o mais próximo do centro) ocorre quando
\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}=\frac{\pi}{2}.
Cancelando \pi dos dois lados, obtemos
d\sin\theta=\frac{\lambda}{2}.
Usando a aproximação \sin\theta\approx y/L, a posição y_1 do primeiro mínimo (medida a partir do centro) é
y_{1}=L\frac{\lambda}{2d}.

Passo 4

Cálculo numérico do item (a).
Primeiro convertendo unidades em metros (com passos):
d=0,260\\ \mathrm{mm}=0{,}260\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=2{,}60\times10^{-4}\\ \mathrm{m},
\lambda=660\\ \mathrm{nm}=660\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=6{,}60\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
L=0{,}900\\ \mathrm{m}.
Agora calcular
y_{1}=L\frac{\lambda}{2d}=0{,}900\cdot\frac{6{,}60\times10^{-7}}{2\cdot 2{,}60\times10^{-4}}.
Fazendo a conta passo a passo:
\frac{\lambda}{2d}=\frac{6{,}60\times10^{-7}}{5{,}20\times10^{-4}}=\frac{6{,}60}{5{,}20}\times10^{-7+4}=1{,}26923\times10^{-3}.
Multiplicando por L:
y_{1}=0{,}900\times1{,}26923\times10^{-3}=1{,}14231\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Arredondando com três algarismos significativos:
y_{1}\approx1{,}14\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=1{,}14\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Condição para o ponto onde I=I_{0}/2.
Queremos I(\theta)=I_{0}/2. Com a fórmula
I(\theta)=I_{0}\cos^{2}\!\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right),
isso significa
\cos^{2}\!\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right)=\frac{1}{2}.
Tomando raiz quadrada (e escolhendo o menor ângulo positivo), temos
\cos\!\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}.
O menor argumento positivo que satisfaz isso é
\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}=\frac{\pi}{4}.
Novamente cancelando \pi,
d\sin\theta=\frac{\lambda}{4}.
Usando \sin\theta\approx y/L, a posição y_{1/2} (distância do centro até o ponto com intensidade I_{0}/2) é
y_{1/2}=L\frac{\lambda}{4d}.
Observação: esta posição é exatamente metade da posição do primeiro mínimo calculada antes, porque \lambda/(4d)=(1/2)\cdot(\lambda/(2d)).

Passo 6

Cálculo numérico do item (b).
Usando a relação já obtida:
y_{1/2}=L\frac{\lambda}{4d}=\frac{1}{2}y_{1}.
Portanto,
y_{1/2}=\frac{1{,}14231\times10^{-3}}{2}=5{,}7116\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Arredondando com três algarismos significativos:
y_{1/2}\approx5{,}71\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}571\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Checagem rápida da validade da aproximação de pequeno ângulo.
Para o primeiro mínimo, \sin\theta\approx\theta\approx y_{1}/L\approx1{,}269\times10^{-3} (em radianos), que corresponde a \theta\approx0{,}073^\circ. Esse valor é muito pequeno, então a aproximação \sin\theta\approx y/L é perfeitamente adequada aqui.

Resposta

(a) 1{,}14\\ \mathrm{mm}
(b) 0{,}571\\ \mathrm{mm}

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