4.35 (b) Se a carga Q for dividida em três cargas iguais espaçadas em intervalos iguais de 120^{\circ} nesse anel, determine o potencial no centro do anel.

Passo 1

O enunciado pede: “Se a carga Q for dividida em três cargas iguais espaçadas em intervalos iguais de 120^\circ nesse anel, determine o potencial no centro do anel.” Informações relevantes que o enunciado dá (ou que precisamos assumir para resolver):
  • Há um anel (circulação) de raio R.
  • A carga total Q foi dividida em três cargas iguais, portanto cada carga tem valor q=\dfrac{Q}{3}.
  • As três cargas estão colocadas sobre o anel igualmente espaçadas, isto é, a 120^\circ entre si.
  • O ponto onde queremos o potencial é o centro do anel; a distância de cada carga ao centro é, portanto, R.
  • Objetivo: calcular o potencial elétrico V no centro do anel devido a essas três cargas.

Passo 2

Conceito-chave (aula curtinha): potencial de uma carga pontual e princípio da superposição.
  • O potencial elétrico criado por uma carga pontual q a uma distância r é dado por
V = k\,\frac{q}{r},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.
  • Aqui V é um escalar (não um vetor). Isso é ótimo porque facilita somar contribuições: o potencial total devido a várias cargas é a soma algébrica (superposição) das potenciais individuais:
V_{\text{total}}=\sum_{i} V_i.
Explicando as variáveis: q é a carga que cria o potencial, r é a distância do ponto de interesse até essa carga, k traz as constantes físicas ( \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: cada uma das três cargas vale
q=\frac{Q}{3},
e a distância de cada carga ao centro é r=R. Portanto a contribuição ao potencial no centro vinda de UMA dessas cargas é
V_1 = k\,\frac{q}{R} = k\,\frac{1}{R}\cdot\frac{Q}{3}.
Aqui escrevi passo a passo para você ver de onde vem cada termo.

Passo 4

Usando superposição: como há três cargas idênticas, o potencial total no centro é a soma das três contribuições idênticas:
V_{\text{total}} = V_1 + V_2 + V_3 = 3\;V_1.
Substituindo V_1 do passo anterior:
V_{\text{total}} = 3\left(k\,\frac{1}{R}\cdot\frac{Q}{3}\right) = k\,\frac{Q}{R}.
Observe que os ângulos não aparecem: a simetria faz com que todas as distâncias ao centro sejam iguais, então a posição angular não altera o potencial (apenas a soma das cargas importa).

Passo 5

Interpretação e verificação rápida:
  • Se as cargas forem positivas, V é positivo; se forem negativas, o sinal acompanha Q.
  • Esse resultado coincide com o potencial no centro de um anel onde a carga total Q está distribuída de forma contínua: o potencial no centro depende apenas de Q e R, não da distribuição angular, desde que todas as partes estejam à mesma distância R.

Resposta

V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R}

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