Uma carga pontual de 30 nC está localizada na origem, enquanto um plano em
está car regado com
. Determine
em
.
Resposta:
.
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Uma carga pontual
está em . - Um plano infinito em
tem densidade de carga superficial . - Queremos o vetor deslocamento elétrico
no ponto .
Esses são todos os dados relevantes. A pergunta é: qual é
em
?
Passo 2
Observação útil sobre método: os campos (e portanto
) devido a várias fontes somam linearmente (princípio da superposição). Logo
Vou calcular separadamente
(da carga no centro) e
(do plano em
) e somar.
Passo 3
Fórmula para uma carga pontual no espaço livre: começamos com o campo elétrico de Coulomb
onde
é a carga,
é a distância do ponto de observação até a carga, e
é o versor que aponta da carga para o ponto. Em meio livre
, daí
Explicando as variáveis:
é a norma do vetor posição do ponto em relação à carga, e
.
Obs.: repare que
cancela, por isso a expressão de
fica sem
explícito.
Passo 4
Calcular
no ponto dado. O vetor posição do ponto (em relação à origem) é
A distância é
O versor é
O fator escalar é
Multiplicando pelo versor para obter componentes:
Fazendo as contas multiplicativas:
Passo 5
Fórmula para um plano infinito com densidade superficial
: pelo teorema de Gauss (aplicado ao campo
) para uma lâmina infinita encontramos que
em cada lado da lâmina, onde
é o versor unitário apontando para fora da superfície (do lado em questão). Aqui
é a carga livre por unidade de área. Explicando: escolha uma caixa cilíndrica que atravessa a lâmina; a integral da normal de
sobre as tampas enclausura carga
, e isso dá a relação acima.
Passo 6
Aplicando ao nosso plano:
. O plano está em
; para pontos com
(como o ponto
) o versor normal que aponta para +y é
. Portanto
Passo 7
Somando as contribuições (superposição): usar as componentes calculadas.
A componente é
. A componente
é
A componente
A componente
é
Arredondando coerentemente com a resposta fornecida (3 ou 4 algarismos significativos), obtemos