Uma carga pontual de 30 nC está localizada na origem, enquanto um plano em y=3 está car regado com 10 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}. Determine \mathbf{D} em (0,4,3).
Resposta: 5,076 \mathbf{a}_{y}+0,0573 \mathbf{a}_{z} \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Uma carga pontual \,q=30\\ \mathrm{nC}\, está em \,(0,0,0).
  • Um plano infinito em \,y=3\, tem densidade de carga superficial \,\sigma=10\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^2.
  • Queremos o vetor deslocamento elétrico \mathbf{D} no ponto \,(0,4,3).
Esses são todos os dados relevantes. A pergunta é: qual é \mathbf{D} em (0,4,3)?

Passo 2

Observação útil sobre método: os campos (e portanto \mathbf{D}) devido a várias fontes somam linearmente (princípio da superposição). Logo
\mathbf{D}=\mathbf{D}_{\text{ponto}}+\mathbf{D}_{\text{plano}}.
Vou calcular separadamente \mathbf{D}_{\text{ponto}} (da carga no centro) e \mathbf{D}_{\text{plano}} (do plano em y=3) e somar.

Passo 3

Fórmula para uma carga pontual no espaço livre: começamos com o campo elétrico de Coulomb
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}},
onde q é a carga, r é a distância do ponto de observação até a carga, e \hat{\mathbf{r}} é o versor que aponta da carga para o ponto. Em meio livre \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}, daí
\mathbf{D}_{\text{ponto}}=\varepsilon_0\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}} =\frac{q}{4\pi}\,\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.
Explicando as variáveis: \,r=\|\mathbf{r}\| é a norma do vetor posição do ponto em relação à carga, e \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r.
Obs.: repare que \varepsilon_0 cancela, por isso a expressão de \mathbf{D} fica sem \varepsilon_0 explícito.

Passo 4

Calcular \mathbf{D}_{\text{ponto}} no ponto dado. O vetor posição do ponto (em relação à origem) é
\mathbf{r}=(0,4,3).
A distância é
r=\sqrt{0^2+4^2+3^2}=\sqrt{25}=5.
O versor é
\hat{\mathbf{r}}=\frac{1}{5}(0,4,3)=\bigl(0,\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\bigr)=(0,0{,}8,0{,}6).
O fator escalar é
\frac{q}{4\pi r^2}=\frac{30}{4\pi\cdot 25}\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^2 =\frac{30}{100\pi}\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^2 \approx 0{,}0954929659\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^2.
Multiplicando pelo versor para obter componentes:
\mathbf{D}_{\text{ponto}}= \frac{30}{100\pi}\,(0,0{,}8,0{,}6) \approx(0,\;0{,}0954929659\cdot 0{,}8,\;0{,}0954929659\cdot 0{,}6)\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^2.
Fazendo as contas multiplicativas:
\mathbf{D}_{\text{ponto}}\approx(0,\;0{,}0763943727,\;0{,}0572957796)\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^2.

Passo 5

Fórmula para um plano infinito com densidade superficial \sigma: pelo teorema de Gauss (aplicado ao campo \mathbf{D}) para uma lâmina infinita encontramos que
\mathbf{D}_{\text{plano}}=\frac{\sigma}{2}\,\hat{\mathbf{n}}
em cada lado da lâmina, onde \hat{\mathbf{n}} é o versor unitário apontando para fora da superfície (do lado em questão). Aqui \sigma é a carga livre por unidade de área. Explicando: escolha uma caixa cilíndrica que atravessa a lâmina; a integral da normal de \mathbf{D} sobre as tampas enclausura carga \sigma A, e isso dá a relação acima.

Passo 6

Aplicando ao nosso plano: \sigma=10\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^2. O plano está em y=3; para pontos com y>3 (como o ponto (0,4,3)) o versor normal que aponta para +y é \hat{\mathbf{n}}=\mathbf{a}_y. Portanto
\mathbf{D}_{\text{plano}}=\frac{10}{2}\,\mathbf{a}_y=5\,\mathbf{a}_y\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^2.

Passo 7

Somando as contribuições (superposição): usar as componentes calculadas.
A componente x é 0. A componente y é
D_y=5+0{,}0763943727\approx 5{,}0763943727\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^2.
A componente z é
D_z=0{,}0572957796\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^2.
Arredondando coerentemente com a resposta fornecida (3 ou 4 algarismos significativos), obtemos
\mathbf{D}\approx 5{,}076\,\mathbf{a}_y+0{,}0573\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^2.

Resposta

5{,}076\,\mathbf{a}_y+0{,}0573\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^2

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