35 Efetue e simplifique:
\frac{\frac{a-1}{(a+1)^{3}}+\frac{1}{a^{2}-1}}{\frac{1}{a^{2}-2 a+1}+\frac{1}{a^{2}+2 a+1}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\frac{a-1}{(a+1)^{3}}+\frac{1}{a^{2}-1}}{\frac{1}{a^{2}-2a+1}+\frac{1}{a^{2}+2a+1}}.
O conteúdo é soma de frações algébricas e divisão de frações, e vamos precisar de técnicas de mínimo denominador comum e cancelamento de fatores.

Passo 2

Começando pelo numerador, observamos \frac{a-1}{(a+1)^3}+\frac{1}{a^2-1} com a^2-1=(a-1)(a+1). O mínimo denominador comum é (a-1)(a+1)^3, então
\frac{a-1}{(a+1)^3} = \frac{(a-1)\,(a-1)}{(a-1)(a+1)^3} = \frac{(a-1)^2}{(a-1)(a+1)^3},
\frac{1}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)^3}.
Somando:
\frac{(a-1)^2+(a+1)^2}{(a-1)(a+1)^3} = \frac{2(a^2+1)}{(a-1)(a+1)^3}.

Passo 3

No denominador temos \frac{1}{a^2-2a+1}+\frac{1}{a^2+2a+1} com a^2-2a+1=(a-1)^2 e a^2+2a+1=(a+1)^2. O mínimo denominador comum é (a-1)^2(a+1)^2, então
\frac{1}{(a-1)^2} = \frac{(a+1)^2}{(a-1)^2(a+1)^2}, \quad \frac{1}{(a+1)^2} = \frac{(a-1)^2}{(a-1)^2(a+1)^2},
\frac{(a+1)^2+(a-1)^2}{(a-1)^2(a+1)^2} = \frac{2(a^2+1)}{(a-1)^2(a+1)^2}.

Passo 4

Agora dividimos o numerador pelo denominador, isto é,
\frac{\displaystyle \frac{2(a^2+1)}{(a-1)(a+1)^3}} {\displaystyle \frac{2(a^2+1)}{(a-1)^2(a+1)^2}} = \frac{2(a^2+1)}{(a-1)(a+1)^3} \cdot \frac{(a-1)^2(a+1)^2}{2(a^2+1)}.
Cancelando 2(a^2+1) e simplificando os fatores:
\frac{(a-1)^2}{(a-1)}\;\frac{(a+1)^2}{(a+1)^3} = \frac{a-1}{a+1}.

Resposta

\displaystyle \frac{a-1}{a+1}

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