-2.35 Uma haste uniformemente carregada de comprimento L, com uma carga total Q, situa-se ao longo do eixo y, desde y =0 até y=L. Obtenha uma expressão para o campo elétrico no ponto ( d, 0 ) - isto é, em um ponto do eixo x em x=d.

Passo 1

O enunciado pede que se encontre o campo elétrico no ponto (d,0) (um ponto do eixo x a uma distância d da origem), devido a uma haste uniformemente carregada que se estende ao longo do eixo y de y=0 até y=L, com carga total Q.
Informações dadas:
  • A haste está no eixo y entre y=0 e y=L.
  • A carga total da haste é Q e está distribuída uniformemente ao longo do comprimento L.
  • O ponto onde se quer o campo é (d,0) sobre o eixo x.
O que se pede: expressão para o vetor campo elétrico \mathbf{E} no ponto (d,0) em função de Q, L, d e constantes ( \varepsilon_0, etc.).

Passo 2

Primeiro definimos a densidade linear de carga porque a haste é uniformemente carregada. A densidade linear \lambda é carga por unidade de comprimento:
\lambda = \frac{Q}{L}.
Tomamos um elemento de comprimento da haste localizado em coordenada y (com 0\le y\le L). O pequeno elemento de carga é
dq = \lambda\,dy.
A posição do elemento é (0,y). O ponto onde queremos o campo é (d,0). O vetor que vai do elemento dq até o ponto é (d,\,-y) e a distância entre eles é
r = \sqrt{d^{2} + y^{2}}.

Passo 3

A contribuição elemental de campo elétrico em módulos, dada pela lei de Coulomb, é
dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^{2}}.
Mas isto é o valor escalar; precisamos do vetor. O vetor unitário na direção do ponto a partir de dq é
\hat{\mathbf{r}} = \frac{(d,\,-y)}{r}.
Portanto o vetor campo diferencial é
d\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^{3}}(d,\,-y).
Agora separamos em componentes x e y:
dE_x = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq\;d}{r^{3}}, \qquad dE_y = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq\;y}{r^{3}}.
Observe o sinal negativo em dE_y: o componente vertical aponta para baixo porque o elemento está acima do eixo x.

Passo 4

Substituímos dq=\lambda\,dy e r=\sqrt{d^{2}+y^{2}} e integramos ao longo da haste de y=0 a y=L.
Componente x:
E_x = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\lambda d \int_{0}^{L}\frac{dy}{(d^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Componente y:
E_y = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\lambda \int_{0}^{L}\frac{y\,dy}{(d^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Vamos calcular cada integral passo a passo.

Passo 5

Cálculo de E_x. Avaliamos
I_x=\int_{0}^{L}\frac{dy}{(d^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Usamos a substituição trigonométrica y = d\tan\theta. Então dy = d\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e
d^{2}+y^{2}=d^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta,\qquad (d^{2}+y^{2})^{3/2}=d^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta.
Assim
I_x=\int \frac{d\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{d^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta}=\frac{1}{d^{2}}\int \cos\theta\,d\theta=\frac{1}{d^{2}}\sin\theta + C.
Voltando a y: \sin\theta = \dfrac{y}{\sqrt{d^{2}+y^{2}}}. Portanto
I_x=\frac{1}{d^{2}}\cdot\frac{y}{\sqrt{d^{2}+y^{2}}}\Bigg|_{0}^{L} = \frac{L}{d^{2}\sqrt{d^{2}+L^{2}}}.
Logo
E_x = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\lambda d\cdot\frac{L}{d^{2}\sqrt{d^{2}+L^{2}}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\lambda\frac{L}{d\sqrt{d^{2}+L^{2}}}.

Passo 6

Cálculo de E_y. Avaliamos
I_y=\int_{0}^{L}\frac{y\,dy}{(d^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Usamos a substituição u=d^{2}+y^{2}, então du=2y\,dy e y\,dy=\tfrac{1}{2}du. Assim
I_y=\frac{1}{2}\int_{u=d^{2}}^{u=d^{2}+L^{2}} u^{-3/2}\,du.
Calculando a integral:
\int u^{-3/2}du = -2u^{-1/2}+C,
portanto
I_y=\frac{1}{2}\big[-2u^{-1/2}\big]_{d^{2}}^{d^{2}+L^{2}} = -\frac{1}{\sqrt{d^{2}+L^{2}}} + \frac{1}{d}.
Lembrando o sinal de dE_y, obtemos
E_y = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\lambda I_y = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\lambda\left(-\frac{1}{\sqrt{d^{2}+L^{2}}} + \frac{1}{d}\right).
Simplificando o sinal:
E_y = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\lambda\left(\frac{1}{\sqrt{d^{2}+L^{2}}}-\frac{1}{d}\right).
Note que \dfrac{1}{\sqrt{d^{2}+L^{2}}}<\dfrac{1}{d}, então E_y é negativo (ou seja, aponta para baixo), como esperado fisicamente.

Passo 7

Substituímos \lambda = \dfrac{Q}{L} nas componentes encontradas.
Componente x:
E_x = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{L}\frac{L}{d\sqrt{d^{2}+L^{2}}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{d\sqrt{d^{2}+L^{2}}}.
Componente y:
E_y = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{L}\left(\frac{1}{\sqrt{d^{2}+L^{2}}}-\frac{1}{d}\right).
Escrevemos o campo vetorial usando \hat{\mathbf{x}} e \hat{\mathbf{y}}:
\mathbf{E}(d,0)=E_x\,\hat{\mathbf{x}}+E_y\,\hat{\mathbf{y}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{Q}{d\sqrt{d^{2}+L^{2}}}\,\hat{\mathbf{x}} +\frac{Q}{L}\!\left(\frac{1}{\sqrt{d^{2}+L^{2}}}-\frac{1}{d}\right)\!\hat{\mathbf{y}}\right].
Se preferir deixar E_y com sinal explícito apontando para baixo:
E_y = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{L}\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{\sqrt{d^{2}+L^{2}}}\right).
Dica rápida para a prova: memorize os passos — escrever dq=\lambda dy, decompor em componentes e reconhecer as integrais padrão (aquela com (a^{2}+y^{2})^{-3/2} e a com y/(a^{2}+y^{2})^{3/2}) — isso resolve a maioria dos problemas de haste carregada.

Resposta

\mathbf{E}(d,0)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{Q}{d\sqrt{d^{2}+L^{2}}}\,\hat{\mathbf{x}} +\frac{Q}{L}\!\left(\frac{1}{\sqrt{d^{2}+L^{2}}}-\frac{1}{d}\right)\!\hat{\mathbf{y}}\right]

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