-2.35 Uma haste uniformemente carregada de comprimento L, com uma carga total Q, situa-se ao longo do eixo y, desde y =0 até y=L. Obtenha uma expressão para o campo elétrico no ponto ( d, 0 ) - isto é, em um ponto do eixo x em x=d.
Passo 1
O enunciado pede que se encontre o campo elétrico no ponto (d,0) (um ponto do eixo x a uma distância d da origem), devido a uma haste uniformemente carregada que se estende ao longo do eixo y de y=0 até y=L, com carga total Q.
Informações dadas:
A haste está no eixo y entre y=0 e y=L.
A carga total da haste é Q e está distribuída uniformemente ao longo do comprimento L.
O ponto onde se quer o campo é (d,0) sobre o eixo x.
O que se pede: expressão para o vetor campo elétrico \mathbf{E} no ponto (d,0) em função de Q, L, d e constantes (\varepsilon_0, etc.).
Passo 2
Primeiro definimos a densidade linear de carga porque a haste é uniformemente carregada. A densidade linear \lambda é carga por unidade de comprimento:
\lambda = \frac{Q}{L}.
Tomamos um elemento de comprimento da haste localizado em coordenada y (com 0\le y\le L). O pequeno elemento de carga é
dq = \lambda\,dy.
A posição do elemento é (0,y). O ponto onde queremos o campo é (d,0). O vetor que vai do elemento dq até o ponto é (d,\,-y) e a distância entre eles é
r = \sqrt{d^{2} + y^{2}}.
Passo 3
A contribuição elemental de campo elétrico em módulos, dada pela lei de Coulomb, é
dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^{2}}.
Mas isto é o valor escalar; precisamos do vetor. O vetor unitário na direção do ponto a partir de dq é
I_x=\int \frac{d\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{d^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta}=\frac{1}{d^{2}}\int \cos\theta\,d\theta=\frac{1}{d^{2}}\sin\theta + C.
Voltando a y: \sin\theta = \dfrac{y}{\sqrt{d^{2}+y^{2}}}. Portanto
Dica rápida para a prova: memorize os passos — escrever dq=\lambda dy, decompor em componentes e reconhecer as integrais padrão (aquela com (a^{2}+y^{2})^{-3/2} e a com y/(a^{2}+y^{2})^{3/2}) — isso resolve a maioria dos problemas de haste carregada.