6.35 Um reservatório submerso de ólco está sujetito às tensốes bidimensionais estáticas criticas \sigma_{1}=45.000 \mathrm{psi} e \sigma_{2}=25.000 \mathrm{psi}. O reservatório é fabricado de um aço 4130 normalizado que possui um limite de resistência por tração de 97.000 psi e uma resistência ao escoamento de 63,300 \mathrm{psi}. Determine o fator de segurança bascado na prediçlo de falha pela teoria da tenslio normal máxima, pela tooria da tenslo cisalhante máxima e pela teoria da energia de distorção.

Passo 1

O enunciado dá as tensões principais bidimensionais e as propriedades do material e pede os fatores de segurança segundo três teorias de falha. Vou listar explicitamente o que foi dado e o que precisa ser encontrado.
Dados fornecidos:
\sigma_{1}=45000\\ \mathrm{psi},\qquad \sigma_{2}=25000\\ \mathrm{psi}.
(Como é um estado bidimensional em chapa/reservatório submerso, assumimos \sigma_{3}=0.)
\text{Resistência última (tração)}:\\ \sigma_{u}=97000\\ \mathrm{psi}.êúçã
\text{Resistência ao escoamento (yield)}:\\ \sigma_{y}=63300\\ \mathrm{psi}.ê
O que o enunciado pede:
  • Determinar o fator de segurança baseado na teoria da tensão normal máxima (Rankine).
  • Determinar o fator de segurança baseado na teoria da tensão cisalhante máxima (Tresca / máxima cisalhante).
  • Determinar o fator de segurança baseado na teoria da energia de distorção (von Mises).

Passo 2

Escolha da tensão de comparação (por que usar \sigma_{u} ou \sigma_{y} em cada teoria).
Explicação didática:
  • A teoria da tensão normal máxima (Rankine) compara a maior tensão normal com a resistência última à tração; ela é tradicionalmente usada para materiais frágeis (que falham por tração). Assim, para essa teoria usaremos \sigma_{\text{falha}}=\sigma_{u}.
  • As teorias de cisalhamento máximo (Tresca) e de energia de distorção (von Mises) são formuladas para prever escoamento em materiais dúcteis; para essas usa-se a resistência ao escoamento \sigma_{y}.
    Observação sobre o material: o aço 4130 normalizado é dúctil; portanto as previsões por Tresca e von Mises com \sigma_{y} são as mais apropriadas para estimar escoamento. Ainda assim vamos calcular Rankine (usando \sigma_{u}) porque o enunciado solicita a comparação.

Passo 3

Teoria da tensão normal máxima (Rankine) — fórmula e cálculo.
Conceito e fórmula:
  • A teoria diz que a falha ocorre quando a maior tensão principal alcança a resistência à tração do material.
  • Definimos a tensão principal máxima como \sigma_{\max}=\max(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3).
  • O fator de segurança N é dado por
N_{\text{Rankine}}=\frac{\sigma_{\text{falha}}}{\sigma_{\max}}.
Aqui usaremos \sigma_{\text{falha}}=\sigma_{u} e \sigma_{\max}=\sigma_{1} (pois \sigma_{1}=45000\\ \mathrm{psi} é a maior).
Cálculo:
N_{\text{Rankine}}=\frac{\sigma_{u}}{\sigma_{1}}=\frac{97000\\ \mathrm{psi}}{45000\\ \mathrm{psi}}.
N_{\text{Rankine}}=\frac{97000}{45000}\approx 2{,}1556\approx 2{,}16.

Passo 4

Teoria da tensão cisalhante máxima (Tresca) — conceito e fórmula.
Conceito:
  • Tresca diz que o escoamento ocorre quando a maior tensão cisalhante na peça atinge a metade da tensão de escoamento em tração simples.
  • A maior tensão cisalhante é
\tau_{\max}=\frac{\sigma_{\text{max principal}}-\sigma_{\text{min principal}}}{2}.
  • Para um material com resistência ao escoamento \sigma_{y}, a condição de escoamento segundo Tresca é \tau_{\max}=\sigma_{y}/2.
  • Para escalonar a tensão até o escoamento, o fator de segurança N pode ser obtido por
N_{\text{Tresca}}=\frac{\sigma_{y}/2}{\tau_{\max}}=\frac{\sigma_{y}}{\sigma_{\text{max principal}}-\sigma_{\text{min principal}}}.
Aplicando aos dados:
  • Os três \sigma principais são 45000,\\\ 25000,\\\ 0 (assumimos \sigma_3=0). Assim \sigma_{\text{max}}=45000 e \sigma_{\text{min}}=0.
    Cálculo de \tau_{\max}:
\tau_{\max}=\frac{45000-0}{2}=22500\\ \mathrm{psi}.
Cálculo do fator de segurança:
N_{\text{Tresca}}=\frac{\sigma_{y}}{45000-0}=\frac{63300}{45000}\approx 1{,}4067\approx 1{,}41.
(Verificação alternativa: N=\dfrac{\sigma_{y}/2}{\tau_{\max}}=\dfrac{31650}{22500}=1{,}4067.)

Passo 5

Teoria da energia de distorção (von Mises) — fórmula, interpretação e cálculo.
Conceito:
  • A teoria de von Mises prevê escoamento quando a energia de distorção atinge o mesmo valor que no ensaio de tração simples ao escoamento.
  • A tensão equivalente de von Mises (que é uma tensão efetiva uniaxial que produz a mesma energia de distorção) para um estado triaxial de tensões principais \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 é:
\sigma_{\text{vm}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\big[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\big]}.
  • Para estado de tensão plana ( \sigma_3=0) existe uma forma simplificada:
\sigma_{\text{vm}}=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2-\sigma_1\sigma_2}.
  • O escoamento ocorre quando \sigma_{\text{vm}}=\sigma_{y}. Assim o fator de segurança é
N_{\text{VM}}=\frac{\sigma_{y}}{\sigma_{\text{vm}}}.
Cálculo passo a passo (usando a forma simplificada para plane stress):
  1. Calcular \sigma_1^2, \sigma_2^2 e \sigma_1\sigma_2:
\sigma_1^2=45000^2=2025000000,
\sigma_2^2=25000^2=625000000,
\sigma_1\sigma_2=45000\cdot 25000=1125000000.
  1. Somar conforme a fórmula:
\sigma_{\text{vm}}^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2-\sigma_1\sigma_2=2025000000+625000000-1125000000=1525000000.
  1. Extrair raiz:
\sigma_{\text{vm}}=\sqrt{1525000000}\approx 39051{,}28\\ \mathrm{psi}.
  1. Calcular o fator de segurança:
N_{\text{VM}}=\frac{\sigma_{y}}{\sigma_{\text{vm}}}=\frac{63300}{39051{,}28}\approx 1{,}6213\approx 1{,}62.

Passo 6

Interpretação rápida e encorajamento (didática curta):
  • Os três fatores de segurança obtidos são diferentes porque cada teoria mede um mecanismo de falha distinto: Rankine olha a maior tensão normal (mais conservadora para ruptura frágil), Tresca olha a máxima diferença de tensões (cisalhamento máximo) e von Mises quantifica a energia de distorção (critério mais usado para materiais dúcteis como aços).
  • Para um aço dúctil como o 4130 normalizado, o critério de von Mises (e Tresca) com \sigma_{y} são os mais representativos para evitar escoamento; Rankine usa \sigma_{u} e é menos apropriado para prever escoamento, mas útil para comparar risco de fratura.

Resposta

N_{\text{Rankine}}=2{,}16
N_{\text{Tresca}}=1{,}41
N_{\text{VM}}=1{,}62

Exercícios relacionados