6.35 Um reservatório submerso de ólco está sujetito às tensốes bidimensionais estáticas criticas
e
. O reservatório é fabricado de um aço 4130 normalizado que possui um limite de resistência por tração de 97.000 psi e uma resistência ao escoamento de
. Determine o fator de segurança bascado na prediçlo de falha pela teoria da tenslio normal máxima, pela tooria da tenslo cisalhante máxima e pela teoria da energia de distorção.
Passo 1
O enunciado dá as tensões principais bidimensionais e as propriedades do material e pede os fatores de segurança segundo três teorias de falha. Vou listar explicitamente o que foi dado e o que precisa ser encontrado.
Dados fornecidos:
(Como é um estado bidimensional em chapa/reservatório submerso, assumimos
.)
O que o enunciado pede:
- Determinar o fator de segurança baseado na teoria da tensão normal máxima (Rankine).
- Determinar o fator de segurança baseado na teoria da tensão cisalhante máxima (Tresca / máxima cisalhante).
- Determinar o fator de segurança baseado na teoria da energia de distorção (von Mises).
Passo 2
Escolha da tensão de comparação (por que usar
ou
em cada teoria).
Explicação didática:
- A teoria da tensão normal máxima (Rankine) compara a maior tensão normal com a resistência última à tração; ela é tradicionalmente usada para materiais frágeis (que falham por tração). Assim, para essa teoria usaremos
. - As teorias de cisalhamento máximo (Tresca) e de energia de distorção (von Mises) são formuladas para prever escoamento em materiais dúcteis; para essas usa-se a resistência ao escoamento
.
Observação sobre o material: o aço 4130 normalizado é dúctil; portanto as previsões por Tresca e von Mises comsão as mais apropriadas para estimar escoamento. Ainda assim vamos calcular Rankine (usando ) porque o enunciado solicita a comparação.
Passo 3
Teoria da tensão normal máxima (Rankine) — fórmula e cálculo.
Conceito e fórmula:
- A teoria diz que a falha ocorre quando a maior tensão principal alcança a resistência à tração do material.
- Definimos a tensão principal máxima como
. - O fator de segurança
é dado por
Aqui usaremos
e
(pois
é a maior).
Cálculo:
Passo 4
Teoria da tensão cisalhante máxima (Tresca) — conceito e fórmula.
Conceito:
- Tresca diz que o escoamento ocorre quando a maior tensão cisalhante na peça atinge a metade da tensão de escoamento em tração simples.
- A maior tensão cisalhante é
- Para um material com resistência ao escoamento
, a condição de escoamento segundo Tresca é . - Para escalonar a tensão até o escoamento, o fator de segurança
pode ser obtido por
Aplicando aos dados:
- Os três
principais são (assumimos ). Assim e .
Cálculo de:
Cálculo do fator de segurança:
(Verificação alternativa:
.)
Passo 5
Teoria da energia de distorção (von Mises) — fórmula, interpretação e cálculo.
Conceito:
- A teoria de von Mises prevê escoamento quando a energia de distorção atinge o mesmo valor que no ensaio de tração simples ao escoamento.
- A tensão equivalente de von Mises (que é uma tensão efetiva uniaxial que produz a mesma energia de distorção) para um estado triaxial de tensões principais
é:
- Para estado de tensão plana (
) existe uma forma simplificada:
- O escoamento ocorre quando
. Assim o fator de segurança é
Cálculo passo a passo (usando a forma simplificada para plane stress):
- Calcular
, e :
- Somar conforme a fórmula:
- Extrair raiz:
- Calcular o fator de segurança:
Passo 6
Interpretação rápida e encorajamento (didática curta):
- Os três fatores de segurança obtidos são diferentes porque cada teoria mede um mecanismo de falha distinto: Rankine olha a maior tensão normal (mais conservadora para ruptura frágil), Tresca olha a máxima diferença de tensões (cisalhamento máximo) e von Mises quantifica a energia de distorção (critério mais usado para materiais dúcteis como aços).
- Para um aço dúctil como o 4130 normalizado, o critério de von Mises (e Tresca) com
são os mais representativos para evitar escoamento; Rankine usa e é menos apropriado para prever escoamento, mas útil para comparar risco de fratura.