4.56 A superfikie interna de um cilindro oco está sujeita às tensöes tangencial e axial de 40.000 e 24.000 psi, respectivamente. Determine a tenslo cisalhante máxima na superficic interna se o cilindro for pressurizado a 10.000 psi .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados fornecidos:
    • A tensão tangencial (circunferencial/hoop) na superfície interna é \sigma_{\theta}=40.000\\ \text{psi}.
    • A tensão axial na superfície interna é \sigma_{z}=24.000\\ \text{psi}.
    • O cilindro é pressurizado internamente com pressão p=10.000\\ \text{psi}.
  • O que se pede:
    • Determinar a tensão cisalhante máxima na superfície interna do cilindro (ou seja, \tau_{\max} naquele ponto).

Passo 2

Entendendo quais tensões atuam na superfície interna e seus sinais
  • Numa casca cilíndrica, na superfície interna temos três tensões normais principais (em direções mutuamente perpendiculares):
    • a tensão radial \sigma_{r} (na direção radial, positiva quando tração; aqui a pressão interna gera compressão),
    • a tensão tangencial/hoop \sigma_{\theta} (na direção circunferencial),
    • a tensão axial \sigma_{z} (ao longo do eixo do cilindro).
  • A pressão interna p aplicada na superfície interna causa uma tensão radial compressiva igual a -p naquele ponto. Portanto:
    \sigma_{r} = -p.
    Note que o sinal negativo indica compressão.

Passo 3

Aplicando os valores numéricos para obter os três tensões principais no ponto (todas em \text{psi})
  • Dado p=10.000\\ \text{psi}, temos \sigma_{r} = -10.000\\ \text{psi}.
  • Pelos dados do enunciado: \sigma_{\theta} = 40.000\\ \text{psi},\qquad \sigma_{z}=24.000\\ \text{psi}.

Passo 4

Explicando o conceito usado para achar a tensão cisalhante máxima
  • Em um estado triaxial de tensões com três tensões principais \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 ordenadas por magnitude ( \sigma_1 a maior, \sigma_3 a menor), a tensão cisalhante máxima absoluta que aparece em qualquer plano é
    \tau_{\max}=\frac{1}{2}\bigl(\sigma_{\max}-\sigma_{\min}\bigr).
    Essa fórmula vem da análise de tensões principais e do círculo de Mohr: o maior raio do círculo de Mohr entre os três círculos corresponde a metade da diferença entre a maior e a menor tensão principal.
  • Aqui as três tensões principais são simplesmente \sigma_{\theta},\sigma_{z},\sigma_{r} porque estamos na superfície interna (cada uma atua numa direção ortogonal).

Passo 5

Ordenando as tensões para identificar \sigma_{\max} e \sigma_{\min}
  • Numérica e claramente: \sigma_{\theta}=40.000,\quad \sigma_{z}=24.000,\quad \sigma_{r}=-10.000\quad(\text{todas em \(\text{psi}\)}).
  • A maior tensão é \sigma_{\max}=\sigma_{\theta}=40.000\\ \text{psi}.
  • A menor tensão é \sigma_{\min}=\sigma_{r}=-10.000\\ \text{psi}.

Passo 6

Cálculo explícito da tensão cisalhante máxima
  • Aplicando a fórmula: \tau_{\max}=\frac{1}{2}\bigl(\sigma_{\max}-\sigma_{\min}\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(40.000-(-10.000)\bigr)\\ \text{psi}.
  • Fazendo as contas dentro do parêntese: 40.000-(-10.000)=40.000+10.000=50.000.
  • Portanto \tau_{\max}=\frac{1}{2}\times 50.000=25.000\\ \text{psi}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida (íntima, pra te tranquilizar)
  • Faz sentido: a maior diferença entre tensões ocorre entre a maior (tensão circunferencial) e a menor (radial compressiva), então a metade dessa diferença é a tensão de cisalhamento máxima. O valor está na ordem esperada para tensões dadas, então é coerente.

Resposta

\tau_{\max}=25.000\\ \text{psi}

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