Um componente de miquina é carregado de modo que as tensoles na regiāo critica slo
e
material é dístil, com resistência ao escoamento por traclio e compressio de 60 ksi. Qual é o valor do fator de concentraçlo de acondo com a (a) teoria da tenslo normal máxima, (b) teoria da tensJo cisalhante máxima e (c) teoria da energia de distorpio mixima? Qual é a teoria que se espera esteja mais de acordo com um ensaio real?
[Resp. parcial: (a) 3,0, (b) 1,71 e (c) 1,97]
[Resp. parcial: (a) 3,0, (b) 1,71 e (c) 1,97]
Passo 1
O enunciado dá as tensões principais na região crítica e pede o fator de segurança (fator de resistência) conforme três teorias, mais dizer qual teoria se espera que coincida melhor com ensaios reais. Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram):
Resistência ao escoamento (tração e compressão):
Resistência ao escoamento (tração e compressão):
O que o enunciado pergunta:
(a) fator de segurança segundo a teoria da tensão normal máxima;
(b) fator de segurança segundo a teoria da tensão cisalhante máxima (Tresca);
(c) fator de segurança segundo a teoria da energia de distorção máxima (von Mises);
(d) qual teoria espera-se que esteja mais de acordo com ensaio real.
(a) fator de segurança segundo a teoria da tensão normal máxima;
(b) fator de segurança segundo a teoria da tensão cisalhante máxima (Tresca);
(c) fator de segurança segundo a teoria da energia de distorção máxima (von Mises);
(d) qual teoria espera-se que esteja mais de acordo com ensaio real.
Passo 2
Teoria da tensão normal máxima (Rankine) — ideia e fórmula.
Explicação didática: essa teoria assume que a falha ocorre quando a maior tensão principal atinge a tensão de escoamento do material (útil para materiais frágeis; para dúcteis costuma superestimar a resistência). Em termos práticos, o fator de segurança é a razão entre a resistência à tração e a maior tensão principal em valor tensil. A fórmula que usamos é
Explicação didática: essa teoria assume que a falha ocorre quando a maior tensão principal atinge a tensão de escoamento do material (útil para materiais frágeis; para dúcteis costuma superestimar a resistência). Em termos práticos, o fator de segurança
Aqui
é a maior tensão principal (em valor e considerando sinal de tração positivo). No nosso caso as tensões são dadas; identifique a maior em tração:
é a maior (positiva). Logo aplicamos a fórmula.
Passo 3
Cálculo numérico para (a) usando Rankine.
Aplicando a fórmula do passo anterior:
Aplicando a fórmula do passo anterior:
Fazendo a divisão obtemos
Interpretação curta: segundo Rankine, o componente só falharia quando a tensão principal de
fosse multiplicada por 3 até atingir
.
Passo 4
Teoria da tensão cisalhante máxima (Tresca) — ideia e fórmula.
Explicação didática: Tresca diz que a falha ocorre quando a máxima tensão cisalhante no estado de tensão alcança a tensão cisalhante de escoamento obtida em um ensaio simples. A máxima tensão cisalhante em um estado tridimensional é metade da maior diferença entre quaisquer duas tensões principais. Escrevendo as principais em ordem , a máxima tensão cisalhante é
Explicação didática: Tresca diz que a falha ocorre quando a máxima tensão cisalhante no estado de tensão alcança a tensão cisalhante de escoamento obtida em um ensaio simples. A máxima tensão cisalhante em um estado tridimensional é metade da maior diferença entre quaisquer duas tensões principais. Escrevendo as principais em ordem
No ensaio uniaxial, a tensão cisalhante de escoamento é
. Então o fator de segurança
satisfaz
Observação: a regra prática é usar a maior diferença entre duas tensões principais no denominador; no nosso caso a maior diferença será entre
e
(ou entre
e
dependendo da ordem), vamos calcular explicitamente.
Passo 5
Cálculo numérico para (b) usando Tresca.
Primeiro determinamos a maior diferença entre tensões principais. Como dado: ,
,
. A maior diferença é entre
e
:
Primeiro determinamos a maior diferença entre tensões principais. Como dado:
(Observe que
e
em valor absoluto 15; a maior diferença absoluta é
.) Aplicando a fórmula de Tresca:
Fazendo a divisão:
Passo 6
Teoria da energia de distorção máxima (von Mises) — ideia e fórmula.
Explicação didática: von Mises estabelece que a falha por escoamento em materiais dúcteis depende da energia de distorção (energia associada à mudança de forma, não ao volume). A partir das tensões principais, define-se uma tensão equivalente (von Mises) que, se igual à tensão de escoamento uniaxial, indica escoamento. A fórmula para
em termos das tensões principais é
Explicação didática: von Mises estabelece que a falha por escoamento em materiais dúcteis depende da energia de distorção (energia associada à mudança de forma, não ao volume). A partir das tensões principais, define-se uma tensão equivalente (von Mises)
Todas as variáveis aqui são tensões principais (em
). O fator de segurança é
Agora vamos calcular passo a passo.
Passo 7
Cálculo numérico para (c) usando von Mises.
Primeiro calcule as diferenças entre as tensões principais e seus quadrados:
Primeiro calcule as diferenças entre as tensões principais e seus quadrados:
Somando os termos:
Multiplicando por
:
Agora a raiz quadrada:
Finalmente o fator de segurança:
Passo 8
Comparação e escolha da teoria mais adequada para um ensaio real.
Resumo dos fatores obtidos:
Resumo dos fatores obtidos:
- Rankine (tensão normal máxima):
. — tende a ser otimista para materiais dúcteis porque só olha a maior tensão normal. - Tresca (tensão cisalhante máxima):
. — mais conservadora que von Mises em muitos casos; baseada na máxima tensão cisalhante. - von Mises (energia de distorção):
. — normalmente dá melhor correlação com ensaios de escoamento de metais dúcteis porque considera o estado triaxial de tensões e a energia de distorção.
Conclusão prática: para materiais dúcteis (como o enunciado diz “material é dúctil”), espera-se que a teoria de von Mises (energia de distorção) esteja mais de acordo com resultados experimentais. Tresca é uma aproximação mais simples e frequentemente um pouco mais conservadora; Rankine costuma ser aplicada a materiais frágeis e, portanto, não é a melhor escolha aqui.
Resposta
(a)
(b)
(c)
Teoria esperada mais de acordo com ensaio real: teoria da energia de distorção máxima (von Mises).
(b)
(c)
Teoria esperada mais de acordo com ensaio real: teoria da energia de distorção máxima (von Mises).