Um componente de miquina é carregado de modo que as tensoles na regiāo critica slo \sigma_{1}=20 \mathrm{ksi}, \sigma_{2}=-15 \mathrm{ksi} e \sigma_{3}=0.0 material é dístil, com resistência ao escoamento por traclio e compressio de 60 ksi. Qual é o valor do fator de concentraçlo de acondo com a (a) teoria da tenslo normal máxima, (b) teoria da tensJo cisalhante máxima e (c) teoria da energia de distorpio mixima? Qual é a teoria que se espera esteja mais de acordo com um ensaio real?
[Resp. parcial: (a) 3,0, (b) 1,71 e (c) 1,97]

Passo 1

O enunciado dá as tensões principais na região crítica e pede o fator de segurança (fator de resistência) conforme três teorias, mais dizer qual teoria se espera que coincida melhor com ensaios reais. Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram):
\sigma_1 = 20\\ \mathrm{ksi}
\sigma_2 = -15\\ \mathrm{ksi}
\sigma_3 = 0,0\\ \mathrm{ksi}
Resistência ao escoamento (tração e compressão): \sigma_y = 60\\ \mathrm{ksi}
O que o enunciado pergunta:
(a) fator de segurança segundo a teoria da tensão normal máxima;
(b) fator de segurança segundo a teoria da tensão cisalhante máxima (Tresca);
(c) fator de segurança segundo a teoria da energia de distorção máxima (von Mises);
(d) qual teoria espera-se que esteja mais de acordo com ensaio real.

Passo 2

Teoria da tensão normal máxima (Rankine) — ideia e fórmula.
Explicação didática: essa teoria assume que a falha ocorre quando a maior tensão principal atinge a tensão de escoamento do material (útil para materiais frágeis; para dúcteis costuma superestimar a resistência). Em termos práticos, o fator de segurança n é a razão entre a resistência à tração e a maior tensão principal em valor tensil. A fórmula que usamos é
n = \frac{\sigma_y}{\max(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)}
Aqui \max(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3) é a maior tensão principal (em valor e considerando sinal de tração positivo). No nosso caso as tensões são dadas; identifique a maior em tração: \sigma_1 = 20\\ \mathrm{ksi} é a maior (positiva). Logo aplicamos a fórmula.

Passo 3

Cálculo numérico para (a) usando Rankine.
Aplicando a fórmula do passo anterior:
n = \frac{\sigma_y}{\sigma_1} = \frac{60\\ \mathrm{ksi}}{20\\ \mathrm{ksi}}.
Fazendo a divisão obtemos
n = 3,0.
Interpretação curta: segundo Rankine, o componente só falharia quando a tensão principal de 20\\ \mathrm{ksi} fosse multiplicada por 3 até atingir 60\\ \mathrm{ksi}.

Passo 4

Teoria da tensão cisalhante máxima (Tresca) — ideia e fórmula.
Explicação didática: Tresca diz que a falha ocorre quando a máxima tensão cisalhante no estado de tensão alcança a tensão cisalhante de escoamento obtida em um ensaio simples. A máxima tensão cisalhante em um estado tridimensional é metade da maior diferença entre quaisquer duas tensões principais. Escrevendo as principais em ordem \sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3, a máxima tensão cisalhante é
\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}.
No ensaio uniaxial, a tensão cisalhante de escoamento é \tau_y = \sigma_y/2. Então o fator de segurança n satisfaz
\frac{\tau_y}{\tau_{\max}} = n \quad\Rightarrow\quad n = \frac{\sigma_y/2}{(\sigma_1-\sigma_3)/2} = \frac{\sigma_y}{\sigma_1-\sigma_3}.
Observação: a regra prática é usar a maior diferença entre duas tensões principais no denominador; no nosso caso a maior diferença será entre \sigma_1 e \sigma_3 (ou entre \sigma_1 e \sigma_2 dependendo da ordem), vamos calcular explicitamente.

Passo 5

Cálculo numérico para (b) usando Tresca.
Primeiro determinamos a maior diferença entre tensões principais. Como dado: \sigma_1 = 20\\ \mathrm{ksi}, \sigma_2 = -15\\ \mathrm{ksi}, \sigma_3 = 0,0\\ \mathrm{ksi}. A maior diferença é entre \sigma_1 e \sigma_2:
\sigma_1 - \sigma_2 = 20 - (-15) = 35\\ \mathrm{ksi}.
(Observe que \sigma_1-\sigma_3 = 20 - 0 = 20\\ \mathrm{ksi} e \sigma_2-\sigma_3 = -15 - 0 = -15\\ \mathrm{ksi} em valor absoluto 15; a maior diferença absoluta é 35\\ \mathrm{ksi}.) Aplicando a fórmula de Tresca:
n = \frac{\sigma_y}{\sigma_1-\sigma_2} = \frac{60\\ \mathrm{ksi}}{35\\ \mathrm{ksi}}.
Fazendo a divisão:
n \approx 1,714\ldots \approx 1,71.

Passo 6

Teoria da energia de distorção máxima (von Mises) — ideia e fórmula.
Explicação didática: von Mises estabelece que a falha por escoamento em materiais dúcteis depende da energia de distorção (energia associada à mudança de forma, não ao volume). A partir das tensões principais, define-se uma tensão equivalente (von Mises) \sigma_v que, se igual à tensão de escoamento uniaxial, indica escoamento. A fórmula para \sigma_v em termos das tensões principais é
\sigma_v = \sqrt{\tfrac{1}{2}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2\right]}.
Todas as variáveis aqui são tensões principais (em \mathrm{ksi}). O fator de segurança é
n = \frac{\sigma_y}{\sigma_v}.
Agora vamos calcular passo a passo.

Passo 7

Cálculo numérico para (c) usando von Mises.
Primeiro calcule as diferenças entre as tensões principais e seus quadrados:
\sigma_1 - \sigma_2 = 20 - (-15) = 35\\ \mathrm{ksi},\qquad (\sigma_1-\sigma_2)^2 = 35^2 = 1225.
\sigma_2 - \sigma_3 = -15 - 0 = -15\\ \mathrm{ksi},\qquad (\sigma_2-\sigma_3)^2 = (-15)^2 = 225.
\sigma_3 - \sigma_1 = 0 - 20 = -20\\ \mathrm{ksi},\qquad (\sigma_3-\sigma_1)^2 = (-20)^2 = 400.
Somando os termos:
1225 + 225 + 400 = 1850.
Multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}\cdot 1850 = 925.
Agora a raiz quadrada:
\sigma_v = \sqrt{925} \approx 30,414\\ \mathrm{ksi}.
Finalmente o fator de segurança:
n = \frac{\sigma_y}{\sigma_v} = \frac{60\\ \mathrm{ksi}}{30,414\\ \mathrm{ksi}} \approx 1,972\ldots \approx 1,97.

Passo 8

Comparação e escolha da teoria mais adequada para um ensaio real.
Resumo dos fatores obtidos:
  • Rankine (tensão normal máxima): n = 3,0. — tende a ser otimista para materiais dúcteis porque só olha a maior tensão normal.
  • Tresca (tensão cisalhante máxima): n \approx 1,71. — mais conservadora que von Mises em muitos casos; baseada na máxima tensão cisalhante.
  • von Mises (energia de distorção): n \approx 1,97. — normalmente dá melhor correlação com ensaios de escoamento de metais dúcteis porque considera o estado triaxial de tensões e a energia de distorção.
Conclusão prática: para materiais dúcteis (como o enunciado diz “material é dúctil”), espera-se que a teoria de von Mises (energia de distorção) esteja mais de acordo com resultados experimentais. Tresca é uma aproximação mais simples e frequentemente um pouco mais conservadora; Rankine costuma ser aplicada a materiais frágeis e, portanto, não é a melhor escolha aqui.

Resposta

(a) 3,0
(b) 1,71
(c) 1,97
Teoria esperada mais de acordo com ensaio real: teoria da energia de distorção máxima (von Mises).

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