35- Seja
A=\left[\begin{array}{rrr} 6 & 2 & 8 \\\\ -3 & 4 & 1 \\\\ 4 & -4 & 5 \end{array}\right]
(a) Encontre adj A.
(b) Calcule \operatorname{det}(A).
(c) Verifique que A(\operatorname{adj} A)=(\operatorname{adj} A) A=\operatorname{det}(A) I_{3}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 8\\\\ -3 & 4 & 1\\\\ 4 & -4 & 5 \end{pmatrix}
e pede: (a) a matriz adjunta \adj(A); (b) o determinante \det(A); (c) verificar que
A\,\adj(A)\;=\;\adj(A)\,A\;=\;\det(A)\,I_{3}.
Vamos usar definição de cofator, transpor para obter \adj(A) e desenvolver \det(A) pela primeira linha.

Passo 2

Calcular a matriz de cofatores C = (C_{ij}) em que
C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
sendo M_{ij} o menor obtido de A eliminando linha i e coluna j. Os resultados são:
\begin{aligned} C_{11} &= (+1)\det\begin{pmatrix}4&1\\\ -4&5\end{pmatrix} = 4\cdot5 - 1\cdot(-4) = 24,\\\ C_{12} &= (-1)\det\begin{pmatrix}-3&1\\\ 4&5\end{pmatrix} = -\bigl(-3\cdot5 - 1\cdot4\bigr)=19,\\\ C_{13} &= (+1)\det\begin{pmatrix}-3&4\\\ 4&-4\end{pmatrix} = -3\cdot(-4)-4\cdot4 = -4,\\\ C_{21} &= (-1)\det\begin{pmatrix}2&8\\\ -4&5\end{pmatrix} = -\bigl(2\cdot5 - 8\cdot(-4)\bigr) = -42,\\\ C_{22} &= (+1)\det\begin{pmatrix}6&8\\\ 4&5\end{pmatrix} = 6\cdot5 - 8\cdot4 = -2,\\\ C_{23} &= (-1)\det\begin{pmatrix}6&2\\\ 4&-4\end{pmatrix} = -\bigl(6\cdot(-4)-2\cdot4\bigr)=32,\\\ C_{31} &= (+1)\det\begin{pmatrix}2&8\\\ 4&1\end{pmatrix} = 2\cdot1 - 8\cdot4 = -30,\\\ C_{32} &= (-1)\det\begin{pmatrix}6&8\\\ -3&1\end{pmatrix} = -\bigl(6\cdot1 -8\cdot(-3)\bigr)=-30,\\\ C_{33} &= (+1)\det\begin{pmatrix}6&2\\\ -3&4\end{pmatrix} = 6\cdot4 -2\cdot(-3)=30. \end{aligned}
Logo
C = \begin{pmatrix} 24 & 19 & -4\\\\ -42 & -2 & 32\\\\ -30 & -30 & 30 \end{pmatrix}.

Passo 3

A adjunta \adj(A) é a transposta de C:
\adj(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} 24 & -42 & -30\\\\ 19 & -2 & -30\\\\ -4 & 32 & 30 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para \det(A) usamos expansão pela primeira linha:
\det(A) =6\cdot C_{11} + 2\cdot C_{12} + 8\cdot C_{13} =6\cdot24 + 2\cdot19 + 8\cdot(-4) =144 + 38 -32 =150.

Passo 5

Para verificar A\,\adj(A)=\det(A)\,I_{3}, note que o elemento (i,j) de A\,\adj(A) é
\sum_{k=1}^{3}a_{ik}\,C_{jk}.
  • Se i=j, isso é exatamente o desenvolvimento de \det(A) ao longo da linha i.
  • Se i\neq j, o desenvolvimento ocorre numa matriz com duas linhas iguais, dando zero.
    Logo
A\,\adj(A)=150\,I_{3}.
De modo análogo mostra-se \adj(A)\,A=150\,I_{3}.

Resposta

(a) \displaystyle \adj(A) =\begin{pmatrix} 24 & -42 & -30\\\\ 19 & -2 & -30\\\\ -4 & 32 & 30 \end{pmatrix}.
(b) \displaystyle \det(A)=150.
(c) \displaystyle A\,\adj(A)=\adj(A)\,A=150\,I_{3}.

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