Na matrizes abaixo, calcule os determinantes usando a expansão em co-fatores.
\left|\begin{array}{rrr}4 & 2 & 0 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ -1 & 3 & 4\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 2\\\\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}
usando a expansão em co-fatores. O conteúdo aqui é determinante de matriz 3\times3 e a técnica de expansão por co-fatores.

Passo 2

Para usar expansão em co-fatores escolhemos a primeira linha, pois ela tem um elemento zero (isso simplifica o cálculo). A fórmula geral de expansão pela primeira linha é
\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j} é o co-fator e M_{1j} o menor correspondente.

Passo 3

Calculamos cada menor e seu co-fator:
Para j=1:
M_{11} = \det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & 4\end{pmatrix} =1\cdot4 - 2\cdot3 = 4 - 6 = -2,
C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} = (+1)\cdot(-2) = -2.

Passo 4

Para j=2:
M_{12} = \det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ -1 & 4\end{pmatrix} =1\cdot4 - 2\cdot(-1) = 4 + 2 = 6,
C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} = (-1)\cdot6 = -6.
Para j=3: a_{13}=0, então a_{13}C_{13}=0 e não precisamos calcular C_{13}.

Passo 5

Substituindo na expansão:
\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} =4\cdot(-2) + 2\cdot(-6) + 0 =-8 -12 = -20.

Resposta

-20

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