3-35 The hydraulic lift in a car repair shop has an output diameter of 30 cm and is to lift cars up to 2000 kg . Determine the fluid gage pressure that must be maintained in the reservoir.

Passo 1

O enunciado pede a pressão do fluido (pressão manométrica) que deve ser mantida no reservatório para que o elevador hidráulico sustente um carro de massa \,2000\\ \text{kg}.\n
Dados fornecidos:
\text{diâmetro do êmbolo de saída } d = 30\\ \text{cm} = 0,30\\ \text{m}âêí
\text{massa do carro } m = 2000\\ \text{kg}
\text{gravidade } g = 9,81\\ \text{m/s}^2
Pergunta: qual a pressão do fluido (pressão manométrica) necessária no reservatório para equilibrar o peso do carro?

Passo 2

Conceito físico e fórmula básica (explicação didática): a pressão exercida pelo fluido sobre o êmbolo gera uma força de sustentação igual à pressão multiplicada pela área do êmbolo. Para equilibrar o carro precisamos que a força do fluido seja igual ao peso do carro. Assim usamos a relação
p = \frac{F}{A},
onde:
p \text{ é a pressão do fluido (pressão manométrica) em Pa,}éããé
F \text{ é a força vertical que o fluido aplica, em N,}éç
A \text{ é a área do êmbolo de saída, em m}^2.éáêí
Aqui a força necessária é o peso do carro:
F = m\cdot g,
e a área de um círculo (êmbolo circular) é
A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}.
Explicando simples: calcule o peso do carro, calcule a área do pistão com o diâmetro dado, e divida peso por área — isso dá a pressão que o fluido precisa exercer sobre o êmbolo. Essa pressão é exatamente a pressão manométrica necessária no reservatório (assumindo transmissão de pressão sem perdas).

Passo 3

Converter dados e escrever as expressões que vamos calcular:
d = 0,30\\ \text{m},
m = 2000\\ \text{kg},
g = 9,81\\ \text{m/s}^2.
Fórmula final que usaremos:
p = \frac{m\cdot g}{\pi (d/2)^2}.

Passo 4

Calcular a área do êmbolo passo a passo. Primeiro o raio:
r = \frac{d}{2} = \frac{0,30}{2} = 0,15\\ \text{m}.
Agora a área:
A = \pi r^2 = \pi (0,15)^2 = \pi \cdot 0,0225 = 0,0706858347\\ \text{m}^2\\ (\text{aprox.}).
Vou manter algumas casas para precisão e depois arredondar no resultado final.

Passo 5

Calcular a força (peso) que o fluido deve suportar:
F = m\cdot g = 2000 \cdot 9,81 = 19620\\ \text{N}.

Passo 6

Calcular a pressão manométrica exigida:
p = \frac{F}{A} = \frac{19620}{0,0706858347} \approx 277560,6\\ \text{Pa}.
Arredondando com três algarismos significativos:
p \approx 2,78\times 10^{5}\\ \text{Pa}.

Passo 7

Dar o resultado em unidades mais usuais também (conversões rápidas):
277560,6\\ \text{Pa} = 277,6\\ \text{kPa} \approx 2,78\\ \text{bar}.
Se quiser em psi (apenas referência):
277560,6\\ \text{Pa} \div 6894,76 \approx 40,27\\ \text{psi}.

Resposta

p_{\text{man}} \approx 2,78\times 10^{5}\\ \text{Pa}
p_{\text{man}} \approx 277,6\\ \text{kPa} \approx 2,78\\ \text{bar}

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