6.36 Um componente de cortador de grama está sujeito às tensöes estáticas crificas \sigma_{1}=45.000 \mathrm{psi}, \sigma_{2}=25.000 \mathrm{psi} e \tau_{0}=15.000 \mathrm{psi}. O componente é fabricado de um aço 4130 normalizado cujo limite de resistència é de 97.000 psi e cuja resistência ao escoamento é de 63.300 psi . Determine o fator de segurança baseado nas prodicioles de falhas estabelecidas pelas teorias da tenslo cisalhante máxima e da energia de distoryio.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o fator de segurança do componente segundo duas teorias de falha: a teoria da máxima tensão cisalhante (Tresca) e a teoria da energia de distorção (von Mises). Os dados fornecidos são:
\sigma_x = 45.000\\ \text{psi},\qquad \sigma_y = 25.000\\ \text{psi},\qquad \tau_{xy} = 15.000\\ \text{psi}
\text{resistência ao escoamento } S_y = 63.300\\ \text{psi},\qquad \text{(limite último } 97.000\\ \text{psi, não usado aqui)}êúã
Essas são as únicas informações que usaremos; o objetivo é calcular os fatores de segurança segundo Tresca e von Mises.

Passo 2

Primeiro precisamos achar as tensões principais do estado plano de tensões dado por \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}. Para um estado plano, a média e o “raio” do círculo de Mohr são:
\sigma_{\text{m}}=\tfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2},\qquad R=\sqrt{\left(\tfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}
Explicando: \sigma_{\text{m}} é a média das tensões normais nos dois eixos e R mede a distância do ponto ao centro no círculo de Mohr; as tensões principais são \sigma_{\text{m}}\pm R. Agora calculamos numericamente:
\sigma_{\text{m}}=\tfrac{45.000+25.000}{2}=35.000\\ \text{psi}
\left(\tfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2=\left(\tfrac{45.000-25.000}{2}\right)^2=10.000^2=100.000.000
\tau_{xy}^2=15.000^2=225.000.000
R=\sqrt{100.000.000+225.000.000}=\sqrt{325.000.000}=18.027,756\\ \text{psi}

Passo 3

Com \sigma_{\text{m}} e R obtemos as duas tensões principais (as únicas não nulas no plano); a terceira tensão principal é \sigma_3=0 porque é estado plano (fora do plano não há tensão):
\sigma_1=\sigma_{\text{m}}+R=35.000+18.027,756=53.027,756\\ \text{psi}
\sigma_2=\sigma_{\text{m}}-R=35.000-18.027,756=16.972,244\\ \text{psi}
\sigma_3=0\\ \text{psi}
Observação: entre \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 a maior é \sigma_1 e a menor é \sigma_3=0.

Passo 4

Teoria de máxima tensão cisalhante (Tresca): a falha por escoamento ocorre quando a máxima tensão cisalhante no corpo atingir metade da resistência ao escoamento, isto é quando
\tau_{\max}=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2}=\frac{S_y}{2}.
Logo, o fator de segurança n segundo Tresca é dado por
n_{\text{Tresca}}=\frac{S_y}{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}.
Aqui \sigma_{\max}=\sigma_1=53.027,756\\ \text{psi} e \sigma_{\min}=\sigma_3=0\\ \text{psi}, portanto
\sigma_{\max}-\sigma_{\min}=53.027,756\\ \text{psi}
n_{\text{Tresca}}=\frac{63.300}{53.027,756}=1,1939\approx 1,19.
Interpretação rápida: a máxima tensão cisalhante atual é \tau_{\max}=(53.027,756-0)/2=26.513,878\\ \text{psi}, e como S_y/2=31.650\\ \text{psi}, ainda não ocorreu escoamento; o fator 1,19 diz quantas vezes a carga atual cabe antes de alcançar o escoamento pela regra de Tresca.

Passo 5

Teoria da energia de distorção (von Mises): define uma tensão equivalente \sigma_{\text{v}} tal que o escoamento ocorre quando \sigma_{\text{v}}=S_y. Para estado plano (somente \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}) existe uma fórmula direta:
\sigma_{\text{v}}=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2-\sigma_x\sigma_y+3\tau_{xy}^2}.
Explicando: essa expressão resulta da forma em termos das tensões principais; \sigma_{\text{v}} representa a “intensidade de distorção” — se \sigma_{\text{v}} atinge S_y o material escoa. Agora calculemos:
\sigma_x^2=45.000^2=2.025.000.000
\sigma_y^2=25.000^2=625.000.000
-\sigma_x\sigma_y=-45.000\cdot25.000=-1.125.000.000
3\tau_{xy}^2=3\cdot15.000^2=3\cdot225.000.000=675.000.000
Somando:
\sigma_x^2+\sigma_y^2-\sigma_x\sigma_y+3\tau_{xy}^2=2.025.000.000+625.000.000-1.125.000.000+675.000.000=2.200.000.000
\sigma_{\text{v}}=\sqrt{2.200.000.000}=46.904,158\\ \text{psi}
O fator de segurança segundo von Mises é então
n_{\text{von Mises}}=\frac{S_y}{\sigma_{\text{v}}}=\frac{63.300}{46.904,158}=1,3494\approx 1,35.

Passo 6

Resumo e comparação (rapidinho, para te animar): segundo Tresca obtemos n\approx 1,19 e segundo von Mises obtemos n\approx 1,35. Ou seja, a teoria de Tresca dá um fator de segurança menor (mais conservador) neste caso. Isso é comum: Tresca costuma ser ligeiramente mais conservadora que von Mises para muitos estados de tensão.

Resposta

n_{\text{Tresca}}=1,19
n_{\text{von Mises}}=1,35

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