6.36 Um componente de cortador de grama está sujeito às tensöes estáticas crificas
e
. O componente é fabricado de um aço 4130 normalizado cujo limite de resistència é de 97.000 psi e cuja resistência ao escoamento é de 63.300 psi . Determine o fator de segurança baseado nas prodicioles de falhas estabelecidas pelas teorias da tenslo cisalhante máxima e da energia de distoryio.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o fator de segurança do componente segundo duas teorias de falha: a teoria da máxima tensão cisalhante (Tresca) e a teoria da energia de distorção (von Mises). Os dados fornecidos são:
Essas são as únicas informações que usaremos; o objetivo é calcular os fatores de segurança segundo Tresca e von Mises.
Passo 2
Primeiro precisamos achar as tensões principais do estado plano de tensões dado por
. Para um estado plano, a média e o “raio” do círculo de Mohr são:
Explicando:
é a média das tensões normais nos dois eixos e
mede a distância do ponto ao centro no círculo de Mohr; as tensões principais são
. Agora calculamos numericamente:
Passo 3
Com
e
obtemos as duas tensões principais (as únicas não nulas no plano); a terceira tensão principal é
porque é estado plano (fora do plano não há tensão):
Observação: entre
a maior é
e a menor é
.
Passo 4
Teoria de máxima tensão cisalhante (Tresca): a falha por escoamento ocorre quando a máxima tensão cisalhante no corpo atingir metade da resistência ao escoamento, isto é quando
Logo, o fator de segurança
segundo Tresca é dado por
Aqui
e
, portanto
Interpretação rápida: a máxima tensão cisalhante atual é
, e como
, ainda não ocorreu escoamento; o fator
diz quantas vezes a carga atual cabe antes de alcançar o escoamento pela regra de Tresca.
Passo 5
Teoria da energia de distorção (von Mises): define uma tensão equivalente
tal que o escoamento ocorre quando
. Para estado plano (somente
) existe uma fórmula direta:
Explicando: essa expressão resulta da forma em termos das tensões principais;
representa a “intensidade de distorção” — se
atinge
o material escoa. Agora calculemos:
Somando:
O fator de segurança segundo von Mises é então
Passo 6
Resumo e comparação (rapidinho, para te animar): segundo Tresca obtemos
e segundo von Mises obtemos
. Ou seja, a teoria de Tresca dá um fator de segurança menor (mais conservador) neste caso. Isso é comum: Tresca costuma ser ligeiramente mais conservadora que von Mises para muitos estados de tensão.