Um freio a tambor com sapatas internas está instalado num tambor de 340 mm de diâmetro. A distância entre o pivô da sapata e o centro do tambor é 120 mm , a largura de face da sapata é igual a 32 mm , a pressão máxima é 1100 kPa . A sapata está localizada indo do ângulo de
a
, sendo nessa extremidade que a força está sendo aplicada. O coeficiente de atrito é 0,33 . Nessas condições, a capacidade de frenagem do sistema é, aproximadamente, igual a:
Passo 1
Enunciado e dados que temos (vou listar tudo explicitamente para ficar claro):
- Diâmetro do tambor:
. - Logo, raio do tambor:
. - Distância entre o pivô da sapata e o centro do tambor:
. (está no enunciado) - Largura da face da sapata:
. - Pressão máxima:
. - A sapata cobre o arco de
a (ou seja, ângulo de contato radianos). - A força (atuadora) é aplicada na extremidade em
— isto indica que a pressão no contato é máxima nessa extremidade. - Coeficiente de atrito:
. - Pergunta: “a capacidade de frenagem do sistema é, aproximadamente, igual a … ?” (ou seja, queremos o torque de frenagem produzido pelas sapatas).
Passo 2
Decisão do modelo e justificativa (sem pular passos):
Quando a sapata é acionada no extremo, a pressão normal sobre a superfície de contato não será uniforme: ela costuma aumentar do pivô (onde vale zero) até o extremo acionado (onde temos ). Para um problema de nível básico/graduação uma aproximação comum e didática é assumir uma distribuição simples que satisfaça as condições de contorno:
e
. Uma escolha natural e amplamente usada nesses exercícios é
Quando a sapata é acionada no extremo, a pressão normal sobre a superfície de contato não será uniforme: ela costuma aumentar do pivô (onde vale zero) até o extremo acionado (onde temos
porque é nula em
, atinge
em
e é monotonicamente crescente (condição física esperada). Vou usar esse modelo — é simples, responde ao enunciado (força aplicada na extremidade) e permite cálculo analítico fácil. (Observação: a distância pivô–centro foi dada, mas nesse modelo simples ela não é necessária para o cálculo direto do torque; o que importa é a distribuição de pressão sobre o arco.)
Passo 3
Expressar a força normal diferencial num elemento de arco:
Considere um elemento de arco de ângulo . A área desse elemento é
(largura
comprimento do elemento de arco). A força normal diferencial é
Considere um elemento de arco de ângulo
Expliquei:
tem unidades de Pa
N/m
; multiplicando por área (m
) dá Newtons.
Passo 4
Expressar a força de atrito diferencial e o momento diferencial:
A força de atrito diferencial (tangencial) é .
Esse pequeno atrito age à distância do centro, então o torque diferencial é
A força de atrito diferencial (tangencial) é
Esse pequeno atrito age à distância
Aqui eu usei a regra “torque = força tangencial × raio”.
Passo 5
Integrar o torque ao longo do arco para obter o torque de uma sapata:
Substituindo ,
Substituindo
Calcule a integral:
Portanto
Observação didática: essa expressão é muito direta — a integral deu 1 porque a função escolhida tinha área unitária sobre o intervalo; sempre verifique unidades (Pa·m·m^2 = N·m).
Passo 6
Substituir os valores numéricos (passo a passo, sem pular contas):
-
. -
. -
Calcule:
Faço em etapas:
.
Então . As unidades são N·m (verificado).
Agora multiplico por :
Então
Agora multiplico por
Passo 7
Torque total do sistema (duas sapatas):
Num freio a tambor típico há duas sapatas que atuam opostas e contribuem para o torque de frenagem total (uma empurra uma face do tambor numa direção, a outra empurra a outra face na mesma direção de torque). Então aproximamos o torque total como
Num freio a tambor típico há duas sapatas que atuam opostas e contribuem para o torque de frenagem total (uma empurra uma face do tambor numa direção, a outra empurra a outra face na mesma direção de torque). Então aproximamos o torque total como
Comentário de incentivo: deu um número bem razoável — interpretei a distribuição de pressão de forma simples e justificada; se o problema exigisse um modelo mais complexo envolvendo a posição do pivô para achar a pressão real, precisaríamos de mais informações (por exemplo, força atuadora ou relação de equilíbrio do conjunto), mas para o nível do exercício essa aproximação é a esperada.