Um freio a tambor com sapatas internas está instalado num tambor de 340 mm de diâmetro. A distância entre o pivô da sapata e o centro do tambor é 120 mm , a largura de face da sapata é igual a 32 mm , a pressão máxima é 1100 kPa . A sapata está localizada indo do ângulo de 0^{\circ} a 90^{\circ}, sendo nessa extremidade que a força está sendo aplicada. O coeficiente de atrito é 0,33 . Nessas condições, a capacidade de frenagem do sistema é, aproximadamente, igual a:

Passo 1

Enunciado e dados que temos (vou listar tudo explicitamente para ficar claro):
  • Diâmetro do tambor: \,340\\ \text{mm}.
  • Logo, raio do tambor: \,r = 170\\ \text{mm} = 0{,}170\\ \text{m}.
  • Distância entre o pivô da sapata e o centro do tambor: \,120\\ \text{mm}. (está no enunciado)
  • Largura da face da sapata: \,b = 32\\ \text{mm} = 0{,}032\\ \text{m}.
  • Pressão máxima: \,p_{\max} = 1100\\ \text{kPa} = 1{,}10\times10^{6}\\ \text{Pa}.
  • A sapata cobre o arco de \,0^\circ a \,90^\circ (ou seja, ângulo de contato \pi/2 radianos).
  • A força (atuadora) é aplicada na extremidade em \,90^\circ — isto indica que a pressão no contato é máxima nessa extremidade.
  • Coeficiente de atrito: \,\mu = 0{,}33.
  • Pergunta: “a capacidade de frenagem do sistema é, aproximadamente, igual a … ?” (ou seja, queremos o torque de frenagem produzido pelas sapatas).

Passo 2

Decisão do modelo e justificativa (sem pular passos):
Quando a sapata é acionada no extremo, a pressão normal sobre a superfície de contato não será uniforme: ela costuma aumentar do pivô (onde vale zero) até o extremo acionado (onde temos p_{\max}). Para um problema de nível básico/graduação uma aproximação comum e didática é assumir uma distribuição simples que satisfaça as condições de contorno: p(0)=0 e p(\pi/2)=p_{\max}. Uma escolha natural e amplamente usada nesses exercícios é
p(\theta)=p_{\max}\sin\theta,\qquad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2},
porque é nula em \theta=0, atinge p_{\max} em \theta=\pi/2 e é monotonicamente crescente (condição física esperada). Vou usar esse modelo — é simples, responde ao enunciado (força aplicada na extremidade) e permite cálculo analítico fácil. (Observação: a distância pivô–centro foi dada, mas nesse modelo simples ela não é necessária para o cálculo direto do torque; o que importa é a distribuição de pressão sobre o arco.)

Passo 3

Expressar a força normal diferencial num elemento de arco:
Considere um elemento de arco de ângulo d\theta. A área desse elemento é b\cdot (r\,d\theta) (largura \times comprimento do elemento de arco). A força normal diferencial é
dN = p(\theta)\,b\,r\,d\theta.
Expliquei: p(\theta) tem unidades de Pa = N/m ^2; multiplicando por área (m ^2) dá Newtons.

Passo 4

Expressar a força de atrito diferencial e o momento diferencial:
A força de atrito diferencial (tangencial) é dF = \mu\,dN = \mu\,p(\theta)\,b\,r\,d\theta.
Esse pequeno atrito age à distância r do centro, então o torque diferencial é
dT = dF\cdot r = \mu\,p(\theta)\,b\,r^{2}\,d\theta.
Aqui eu usei a regra “torque = força tangencial × raio”.

Passo 5

Integrar o torque ao longo do arco para obter o torque de uma sapata:
Substituindo p(\theta)=p_{\max}\sin\theta,
T_{\text{sapata}}=\int_{0}^{\pi/2} \mu\,p_{\max}\sin\theta\; b\,r^{2}\,d\theta = \mu\,p_{\max}\,b\,r^{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta.
Calcule a integral:
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = \big[-\cos\theta\big]_{0}^{\pi/2} = 1.
Portanto
T_{\text{sapata}} = \mu\,p_{\max}\,b\,r^{2}.
Observação didática: essa expressão é muito direta — a integral deu 1 porque a função escolhida tinha área unitária sobre o intervalo; sempre verifique unidades (Pa·m·m^2 = N·m).

Passo 6

Substituir os valores numéricos (passo a passo, sem pular contas):
  • \;p_{\max}=1{,}10\times10^{6}\\ \text{Pa}.
  • \;b=0{,}032\\ \text{m}.
  • \;r=0{,}170\\ \text{m}\Rightarrow r^{2}=0{,}170^{2}=0{,}0289\\ \text{m}^{2}.
    Calcule p_{\max}\,b\,r^{2}:
p_{\max}\,b\,r^{2}=1{,}10\times10^{6}\times0{,}032\times0{,}0289.
Faço em etapas: 1{,}10\times10^{6}\times0{,}032 = 35200.
Então 35200\times0{,}0289 = 1017{,}28. As unidades são N·m (verificado).
Agora multiplico por \mu=0{,}33:
T_{\text{sapata}}=0{,}33\times1017{,}28 \approx 335{,}70\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 7

Torque total do sistema (duas sapatas):
Num freio a tambor típico há duas sapatas que atuam opostas e contribuem para o torque de frenagem total (uma empurra uma face do tambor numa direção, a outra empurra a outra face na mesma direção de torque). Então aproximamos o torque total como
T_{\text{total}} = 2\,T_{\text{sapata}} \approx 2\times335{,}70 \approx 671{,}4\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Comentário de incentivo: deu um número bem razoável — interpretei a distribuição de pressão de forma simples e justificada; se o problema exigisse um modelo mais complexo envolvendo a posição do pivô para achar a pressão real, precisaríamos de mais informações (por exemplo, força atuadora ou relação de equilíbrio do conjunto), mas para o nível do exercício essa aproximação é a esperada.

Resposta

671{,}4\\ \text{N}\cdot\text{m}

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