Um freio a tambor com sapatas internas está instalado num tambor de 300 mm de diâmetro que gira no sentido horário. A distância entre o pivô da sapata e o centro do tambor é 120 mm , a largura de face da sapata é igual a 30 mm , a pressão máxima é 1000 kPa . A sapata está localizada indo do ângulo de
a
, sendo nessa extremidade que a força está sendo aplicada. A distância da aplicação da força para o centro do tambor é de 100 mm . O coeficiente de atrito é 0,30 . Nessas condições, a força de atuação quando uma força normal constante está aplicada a
, é aproximadamente igual a:
Passo 1
Enunciado e dados (o que o problema dá e o que pede):
- Tambor com diâmetro
→ raio . - Distância do pivô da sapata ao centro do tambor:
. - Largura da face da sapata:
. - Pressão máxima (assumida constante ao longo do contato):
. - Sapata em contato do ângulo
até (usar em radianos , ). - Coeficiente de atrito:
. - A força de atuação (a ser encontrada) é aplicada na extremidade da sapata (ângulo
), a uma distância do centro de (100 mm). - O que o problema pede: a magnitude da força de atuação necessária quando a pressão normal de contato é constante (igual a
) e a resultante de atrito gerada pela sapata deve ser equilibrada pela força aplicada.
Passo 2
Conceitos básicos e modelo físico (aula rápida e aplicada)
- Pressão constante
significa que em cada pequeno elemento de área da face de contato a força normal é . - Para um anel cilíndrico (superfície do tambor) de raio
e largura , um elemento de área correspondente a um ângulo infinitesimal tem área . - A força de atrito elemental em cada dA é
. Essa força é tangencial ao tambor. - Para equilibrar a sapata (momento em torno do pivô), precisamos somar os momentos de todas essas forças de atrito em relação ao pivô. Para um ponto de contato em ângulo
a distância vetorial do pivô até o ponto tem componente radial que resulta em um braço de momento. - Vamos usar uma fórmula vetorial para o momento elemental em torno do pivô e integrar ao longo do arco
. Isso dá o momento total de atrito que a força de atuação deve contrabalançar.
Passo 3
Derivação do momento total de atrito em torno do pivô (passo a passo, sem pular etapas)
- Coordenadas: coloque o centro do tambor na origem. Um ponto da superfície do tambor no ângulo
tem posição
- O pivô está sobre o eixo
a uma distância do centro, portanto sua posição é . O vetor do ponto de contato relativo ao pivô é
- O vetor unitário tangencial (direção da força de atrito) para o círculo é
- A força de atrito elemental é
- O momento elemental em torno do pivô (produto vetorial 2D reduzido a escalar z) tem magnitude
Agrupando termos (e lembrando que
) obtemos
- Integramos
de até :
- Simplificando os termos das funções trigonométricas:
Expliquei cada passo: de área elementar a força elemental, de força para momento via produto vetorial e a integral para somar o efeito ao longo do arco.
Passo 4
Cálculo numérico do momento em torno do pivô (substituindo os valores)
- Primeiro calcule o fator
:
Calcule por etapas:
- Agora calcule o parêntese
:
- Então o momento total em torno do pivô:
Passo 5
Determinar o braço de alavanca da força de atuação e justificar a escolha do modelo
- O enunciado diz que a força de atuação é aplicada na extremidade (ângulo
) e que a distância dessa aplicação ao centro do tambor é . - Em freios de sapata internos a força de atuação típica age radialmente (empurra a sapata para fora, ao longo da linha que passa pelo centro). Se assumirmos essa situação física (força radial aplicada no ponto de aplicação), a linha de ação dessa força passa pelo centro do tambor.
- O braço de alavanca, em relação ao pivô localizado em
, é então a distância perpendicular entre o pivô e a linha de ação radial. Como a linha de ação radial passa pelo centro ( ), a perpendicular do pivô até essa linha tem comprimento igual a . - Portanto o braço de alavanca usado para equilibrar o momento é
.
(Comentário sobre escolha: se a força estivesse aplicada tangencialmente a partir da extremidade, o braço seria diferente; escolhemos a hipótese radial porque é a configuração de atuação mais comum e porque o enunciado fornece a distância ao centro — compatível com força radial — sem indicar componente tangencial.)
Passo 6
Calcular a força de atuação necessária
- Momento de equilíbrio em torno do pivô:
- Portanto
- Arredondando para valor prático: