Um freio a tambor com sapatas internas está instalado num tambor de 300 mm de diâmetro que gira no sentido horário. A distância entre o pivô da sapata e o centro do tambor é 120 mm , a largura de face da sapata é igual a 30 mm , a pressão máxima é 1000 kPa . A sapata está localizada indo do ângulo de 0^{\circ} a 90^{\circ}, sendo nessa extremidade que a força está sendo aplicada. A distância da aplicação da força para o centro do tambor é de 100 mm . O coeficiente de atrito é 0,30 . Nessas condições, a força de atuação quando uma força normal constante está aplicada a 60^{\circ}, é aproximadamente igual a:

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema dá e o que pede):
  • Tambor com diâmetro 300\\ \text{mm} → raio r = 150\\ \text{mm} = 0,15\\ \text{m}.
  • Distância do pivô da sapata ao centro do tambor: d = 120\\ \text{mm} = 0,12\\ \text{m}.
  • Largura da face da sapata: b = 30\\ \text{mm} = 0,03\\ \text{m}.
  • Pressão máxima (assumida constante ao longo do contato): p = 1000\\ \text{kPa} = 1{,}0\times10^{6}\\ \text{N/m}^2.
  • Sapata em contato do ângulo \theta_1 = 0^\circ até \theta_2 = 90^\circ (usar em radianos \theta_1=0, \theta_2=\pi/2).
  • Coeficiente de atrito: \mu = 0{,}30.
  • A força de atuação (a ser encontrada) é aplicada na extremidade da sapata (ângulo 90^\circ), a uma distância do centro de 0,10\\ \text{m} (100 mm).
  • O que o problema pede: a magnitude da força de atuação necessária quando a pressão normal de contato é constante (igual a p) e a resultante de atrito gerada pela sapata deve ser equilibrada pela força aplicada.

Passo 2

Conceitos básicos e modelo físico (aula rápida e aplicada)
  • Pressão constante p significa que em cada pequeno elemento de área da face de contato a força normal é dN = p\,dA.
  • Para um anel cilíndrico (superfície do tambor) de raio r e largura b, um elemento de área correspondente a um ângulo infinitesimal d\theta tem área dA = b\,r\,d\theta.
  • A força de atrito elemental em cada dA é dF_f = \mu\,dN = \mu\,p\,b\,r\,d\theta. Essa força é tangencial ao tambor.
  • Para equilibrar a sapata (momento em torno do pivô), precisamos somar os momentos de todas essas forças de atrito em relação ao pivô. Para um ponto de contato em ângulo \theta a distância vetorial do pivô até o ponto tem componente radial que resulta em um braço de momento.
  • Vamos usar uma fórmula vetorial para o momento elemental em torno do pivô e integrar ao longo do arco [0,\pi/2]. Isso dá o momento total de atrito que a força de atuação deve contrabalançar.

Passo 3

Derivação do momento total de atrito em torno do pivô (passo a passo, sem pular etapas)
  • Coordenadas: coloque o centro do tambor na origem. Um ponto da superfície do tambor no ângulo \theta tem posição
\mathbf{r}_{c} = \bigl(r\cos\theta,\; r\sin\theta\bigr).
  • O pivô está sobre o eixo x a uma distância d do centro, portanto sua posição é \mathbf{r}_{p} = (d,0). O vetor do ponto de contato relativo ao pivô é
\mathbf{r} = \mathbf{r}_c - \mathbf{r}_p = \bigl(r\cos\theta - d,\; r\sin\theta\bigr).
  • O vetor unitário tangencial (direção da força de atrito) para o círculo é
\mathbf{t} = \bigl(-\sin\theta,\; \cos\theta\bigr).
  • A força de atrito elemental é
d\mathbf{F} = \mu\,p\,b\,r\,d\theta\;\mathbf{t}.
  • O momento elemental em torno do pivô (produto vetorial 2D reduzido a escalar z) tem magnitude
dM = \mathbf{r}\times d\mathbf{F} = (\,r\cos\theta - d\,)\cos\theta\,\mu p b r\,d\theta \;-\; (r\sin\theta)(-\sin\theta)\mu p b r\,d\theta.
Agrupando termos (e lembrando que \cos^2\theta+\sin^2\theta=1) obtemos
dM = \mu p b r\,(r - d\cos\theta)\,d\theta.
  • Integramos dM de \theta_1=0 até \theta_2=\pi/2:
M_{pivô}=\mu p b r \int_{0}^{\pi/2} (r - d\cos\theta)\,d\theta = \mu p b r\Bigl[r\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr) - d\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(0)\bigr)\Bigr].ô
  • Simplificando os termos das funções trigonométricas:
M_{pivô}=\mu p b r\Bigl(r\frac{\pi}{2} - d\cdot 1\Bigr) = \mu p b r\Bigl(\frac{\pi r}{2} - d\Bigr).ô
Expliquei cada passo: de área elementar a força elemental, de força para momento via produto vetorial e a integral para somar o efeito ao longo do arco.

Passo 4

Cálculo numérico do momento em torno do pivô (substituindo os valores)
  • Primeiro calcule o fator \mu p b r:
\mu p b r = 0{,}30 \times 1{,}0\times 10^{6}\\ \text{N/m}^2 \times 0{,}03\\ \text{m} \times 0{,}15\\ \text{m}.
Calcule por etapas:
1{,}0\times10^{6}\times0{,}03 = 3{,}0\times10^{4},
3{,}0\times10^{4}\times0{,}15 = 4{,}5\times10^{3},
\mu p b r = 0{,}30\times4{,}5\times10^{3} = 1350\\ \text{N}.
  • Agora calcule o parêntese \dfrac{\pi r}{2} - d:
\frac{\pi r}{2} - d = \frac{\pi}{2}\cdot 0{,}15 - 0{,}12 = 0{,}15\cdot 1{,}570796\ldots - 0{,}12 \approx 0{,}23562 - 0{,}12 = 0{,}11562\\ \text{m}.
  • Então o momento total em torno do pivô:
M_{pivô} = 1350\times 0{,}11562 \approx 156{,}06\\ \text{N·m}.ô

Passo 5

Determinar o braço de alavanca da força de atuação e justificar a escolha do modelo
  • O enunciado diz que a força de atuação é aplicada na extremidade (ângulo 90^\circ) e que a distância dessa aplicação ao centro do tambor é 0,10\\ \text{m}.
  • Em freios de sapata internos a força de atuação típica age radialmente (empurra a sapata para fora, ao longo da linha que passa pelo centro). Se assumirmos essa situação física (força radial aplicada no ponto de aplicação), a linha de ação dessa força passa pelo centro do tambor.
  • O braço de alavanca, em relação ao pivô localizado em x=d, é então a distância perpendicular entre o pivô e a linha de ação radial. Como a linha de ação radial passa pelo centro ( x=0), a perpendicular do pivô até essa linha tem comprimento igual a d.
  • Portanto o braço de alavanca usado para equilibrar o momento é l = d = 0{,}12\\ \text{m}.
(Comentário sobre escolha: se a força estivesse aplicada tangencialmente a partir da extremidade, o braço seria diferente; escolhemos a hipótese radial porque é a configuração de atuação mais comum e porque o enunciado fornece a distância ao centro — compatível com força radial — sem indicar componente tangencial.)

Passo 6

Calcular a força de atuação necessária
  • Momento de equilíbrio em torno do pivô:
F_{a}\times l = M_{pivô}.ô
  • Portanto
F_{a} = \frac{M_{pivô}}{l} = \frac{156{,}06\\ \text{N·m}}{0{,}12\\ \text{m}} \approx 1300{,}5\\ \text{N}.ô
  • Arredondando para valor prático:
F_{a}\approx 1{,}30\times 10^{3}\\ \text{N} \quad\text{(aproximadamente)}.

Resposta

1{,}30\times 10^{3}\\ \text{N}

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