36- Em uma noite típica de primavera foram feitas medidas da temperatura de dois locais distintos do estado do RJ. Na praia de Copacabana registrou-se uma temperatura de
. No pico das Agulhas Negras, localizado a aproximadamente 2800 m acima do nível do mar, registrou-se
.
a) Ao analisarmos a distribuição de moléculas de ar de uma coluna com 2800 m de altura, com o ponto mais baixo no nível do mar, vamos adotar como
a temperatura constante ao longo de toda a altura dessa coluna. Usando os dados apresentados acima, qual seria a máxima variação percentual na temperatura usando esta aproximação?
b) Se 100 moléculas estivessem na parte mais baixa dessa coluna de ar, quantas moléculas você esperaria encontrar a uma altura de 1400 metros? Utilize 29 gramas como a massa molar média das moléculas de ar, e
(unidades do SI), em que NA é o número de Avogadro e kB a constante de Boltzmann.
a) Ao analisarmos a distribuição de moléculas de ar de uma coluna com 2800 m de altura, com o ponto mais baixo no nível do mar, vamos adotar como
b) Se 100 moléculas estivessem na parte mais baixa dessa coluna de ar, quantas moléculas você esperaria encontrar a uma altura de 1400 metros? Utilize 29 gramas como a massa molar média das moléculas de ar, e
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado nos dá e o que ele pede, com todas as informações explícitas:
- Temperaturas medidas:
- Copacabana:
. - Pico das Agulhas Negras (aprox. 2800 m):
.
- Copacabana:
- Para analisar a coluna de ar de 2800 m (com base no nível do mar), adotamos a aproximação de temperatura constante ao longo da coluna:
. - Dados adicionais para a parte (b):
- Massa molar média do ar:
g/mol . - Produto
(ou seja, ). - Aceleração da gravidade: usaremos
.
- Massa molar média do ar:
- Perguntas:
(a) Qual a máxima variação percentual na temperatura usando a aproximação?
(b) Se houver 100 moléculas na parte mais baixa da coluna, quantas moléculas esperaríamos encontrar am de altura, usando os dados fornecidos?
Passo 2
Conceito importante para (a): quando comparamos temperaturas em problemas de física estatística (distribuição de moléculas, energia térmica, etc.), devemos usar a escala absoluta (Kelvin). Isso porque razões e frações envolvendo energia térmica usam
em Kelvin. Então primeiro convertemos as temperaturas de Celsius para Kelvin:
- Conversão:
.
Aplicando:
Definição de variação percentual que usaremos: para cada temperatura real
com aproximação
, a variação percentual (erro relativo) é
Calculamos isso para as duas temperaturas medidas e tomamos a maior.
Passo 3
Calcular as variações percentuais usando os valores em Kelvin:
Para
(
):
Para
(
):
Portanto a máxima variação percentual (entre as duas) é aproximadamente
.
Passo 4
Interpretação didática (resumo e por que isso importa): a aproximação de manter a coluna a
introduz um erro relativo pequeno, da ordem de alguns por cento (
) quando medida em Kelvin. Isso justifica, para muitos cálculos de distribuição molecular que dependem de
em Kelvin, tratar
como constante igual a
sem erro grande.
Passo 5
Agora parte (b). Modelo físico: em equilíbrio térmico, a densidade (ou número de moléculas) varia com a altura segundo a lei barométrica derivável da distribuição de Boltzmann. Para moléculas de massa
em temperatura
, a razão entre a densidade a uma altura
e a densidade ao nível de referência
é
Aqui:
-
é a massa de uma molécula (kg), -
é a gravidade ( ), -
é a altura (m), -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura em Kelvin.
É conveniente usar a massa molar
e a constante dos gases
para evitar explicitamente
:
onde
está em
e
em
.
Passo 6
Aplicar a fórmula para
. Dados usados:
Calcule o expoente:
Passo a passo numérico:
Logo
Assim a razão das densidades é
Se há 100 moléculas na base (
), então o número esperado a
é
ou seja, cerca de
moléculas.
Passo 7
Resumo final e interpretação física: subir 1400 m reduz o número de moléculas por fator
sob a hipótese de temperatura constante
. O decréscimo não é enorme (queda de ~15%), o que é coerente com o pequeno fator exponencial (expoente
) dado a temperatura relativamente alta em Kelvin.
Resposta
(a)
(b)
(b)