36- Em uma noite típica de primavera foram feitas medidas da temperatura de dois locais distintos do estado do RJ. Na praia de Copacabana registrou-se uma temperatura de
31^{\circ} \mathrm{C}. No pico das Agulhas Negras, localizado a aproximadamente 2800 m acima do nível do mar, registrou-se
9{ }^{\circ} \mathrm{C}.
a) Ao analisarmos a distribuição de moléculas de ar de uma coluna com 2800 m de altura, com o ponto mais baixo no nível do mar, vamos adotar como 20^{\circ} \mathrm{C} a temperatura constante ao longo de toda a altura dessa coluna. Usando os dados apresentados acima, qual seria a máxima variação percentual na temperatura usando esta aproximação?
b) Se 100 moléculas estivessem na parte mais baixa dessa coluna de ar, quantas moléculas você esperaria encontrar a uma altura de 1400 metros? Utilize 29 gramas como a massa molar média das moléculas de ar, e \mathrm{NA} \times \mathrm{kB} \approx 8.28 (unidades do SI), em que NA é o número de Avogadro e kB a constante de Boltzmann.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado nos dá e o que ele pede, com todas as informações explícitas:
  • Temperaturas medidas:
    • Copacabana: 31^\circ\mathrm{C}.
    • Pico das Agulhas Negras (aprox. 2800 m): 9^\circ\mathrm{C}.
  • Para analisar a coluna de ar de 2800 m (com base no nível do mar), adotamos a aproximação de temperatura constante ao longo da coluna: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Dados adicionais para a parte (b):
    • Massa molar média do ar: 29 g/mol =0,029\\ \mathrm{kg/mol}.
    • Produto N_A \times k_B \approx 8{,}28 (ou seja, R \approx 8{,}28\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}).
    • Aceleração da gravidade: usaremos g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Perguntas:
    (a) Qual a máxima variação percentual na temperatura usando a aproximação 20^\circ\mathrm{C}?
    (b) Se houver 100 moléculas na parte mais baixa da coluna, quantas moléculas esperaríamos encontrar a 1400 m de altura, usando os dados fornecidos?

Passo 2

Conceito importante para (a): quando comparamos temperaturas em problemas de física estatística (distribuição de moléculas, energia térmica, etc.), devemos usar a escala absoluta (Kelvin). Isso porque razões e frações envolvendo energia térmica usam T em Kelvin. Então primeiro convertemos as temperaturas de Celsius para Kelvin:
  • Conversão: \;T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
Aplicando:
31^\circ\mathrm{C} = 31 + 273{,}15 = 304{,}15\\ \mathrm{K},
9^\circ\mathrm{C} = 9 + 273{,}15 = 282{,}15\\ \mathrm{K},
20^\circ\mathrm{C} = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
Definição de variação percentual que usaremos: para cada temperatura real T_{\text{real}} com aproximação T_{\text{appr}}, a variação percentual (erro relativo) é
\frac{|T_{\text{appr}}-T_{\text{real}}|}{T_{\text{real}}}\times 100\%.
Calculamos isso para as duas temperaturas medidas e tomamos a maior.

Passo 3

Calcular as variações percentuais usando os valores em Kelvin:
Para 31^\circ\mathrm{C} ( 304{,}15\\ \mathrm{K}):
\frac{|293{,}15-304{,}15|}{304{,}15}\times 100\%=\frac{11}{304{,}15}\times 100\%\approx 3{,}62\%.
Para 9^\circ\mathrm{C} ( 282{,}15\\ \mathrm{K}):
\frac{|293{,}15-282{,}15|}{282{,}15}\times 100\%=\frac{11}{282{,}15}\times 100\%\approx 3{,}90\%.
Portanto a máxima variação percentual (entre as duas) é aproximadamente 3{,}90\%.

Passo 4

Interpretação didática (resumo e por que isso importa): a aproximação de manter a coluna a 20^\circ\mathrm{C} introduz um erro relativo pequeno, da ordem de alguns por cento ( \sim 4\%) quando medida em Kelvin. Isso justifica, para muitos cálculos de distribuição molecular que dependem de T em Kelvin, tratar T como constante igual a 293{,}15\\ \mathrm{K} sem erro grande.

Passo 5

Agora parte (b). Modelo físico: em equilíbrio térmico, a densidade (ou número de moléculas) varia com a altura segundo a lei barométrica derivável da distribuição de Boltzmann. Para moléculas de massa m em temperatura T, a razão entre a densidade a uma altura z e a densidade ao nível de referência z=0 é
\frac{n(z)}{n(0)}=\exp\!\left(-\frac{m g z}{k_B T}\right).
Aqui:
  • m é a massa de uma molécula (kg),
  • g é a gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • z é a altura (m),
  • k_B é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura em Kelvin.
É conveniente usar a massa molar M e a constante dos gases R=N_A k_B para evitar explicitamente N_A:
\frac{n(z)}{n(0)}=\exp\!\left(-\frac{M g z}{R T}\right),
onde M está em \mathrm{kg/mol} e R em \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 6

Aplicar a fórmula para z=1400\\ \mathrm{m}. Dados usados:
M=0{,}029\\ \mathrm{kg/mol},\quad g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2},\quad z=1400\\ \mathrm{m},
R=N_A k_B \approx 8{,}28\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\quad T=293{,}15\\ \mathrm{K}.
Calcule o expoente:
\frac{M g z}{R T}=\frac{0{,}029\times 9{,}8\times 1400}{8{,}28\times 293{,}15}.
Passo a passo numérico:
0{,}029\times 9{,}8 = 0{,}2842,
0{,}2842\times 1400 = 397{,}88,
8{,}28\times 293{,}15 = 2427{,}282.
Logo
\frac{M g z}{R T} \approx \frac{397{,}88}{2427{,}282}\approx 0{,}16386.
Assim a razão das densidades é
\frac{n(1400)}{n(0)}=\exp(-0{,}16386)\approx 0{,}8486.
Se há 100 moléculas na base ( n(0)=100), então o número esperado a 1400\\ \mathrm{m} é
n(1400)=100\times 0{,}8486\approx 84{,}86,
ou seja, cerca de 85 moléculas.

Passo 7

Resumo final e interpretação física: subir 1400 m reduz o número de moléculas por fator \approx 0{,}85 sob a hipótese de temperatura constante 20^\circ\mathrm{C}. O decréscimo não é enorme (queda de ~15%), o que é coerente com o pequeno fator exponencial (expoente -0{,}16) dado a temperatura relativamente alta em Kelvin.

Resposta

(a) 3{,}90\%
(b) 85

Exercícios relacionados