35- A baixas temperaturas, o calor específico por átomo de um sólido é dado por
, sendo
a chamada temperatura de Debye, característica deste sólido.
(a) Calcule a variação de energia para elevar a temperatura de 7 átomos de 10 K a 20 K .
(b) Calcule a variação de entropia para elevar a temperatura de 7 átomos de 10 K a 20 K .
(a) Calcule a variação de energia para elevar a temperatura de 7 átomos de 10 K a 20 K .
(b) Calcule a variação de entropia para elevar a temperatura de 7 átomos de 10 K a 20 K .
Passo 1
O enunciado dá o calor específico por átomo e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
- Dado: calor específico por átomo
- Dado: temperatura de Debye
(peguei esse valor do enunciado). - Dado: número de átomos
. - Condição inicial: temperatura
. - Condição final: temperatura
.
Perguntas:
(a) Calcular a variação de energia ao aquecer os 7 átomos de
para
.
(b) Calcular a variação de entropia ao aquecer os 7 átomos de
para
.
(a) Calcular a variação de energia
(b) Calcular a variação de entropia
Passo 2
Entendendo as fórmulas básicas que vamos usar (aulas curtinhas e diretas).
- Para um aquecimento reversível a volume constante, a variação de energia interna associada ao aquecimento é dada por
onde
é a capacidade térmica total do sistema (em J/K). Aqui temos a capacidade por átomo
, então a capacidade térmica total é
Explicando cada símbolo:
-
é a pequena variação de energia interna (J), -
é a capacidade térmica total em função de (J/K), -
é o número de átomos (aqui ), -
é o calor específico por átomo (J/K). -
A variação de energia entre
e é a integral
Passo 3
Montando a integral para
usando a expressão dada para
.
Substituindo
na integral:
Colocando constantes fora da integral:
Agora integramos
. Lembrete:
. Portanto
Passo 4
Agora vamos calcular numericamente
passo a passo com os valores dados:
-
, -
, -
, .
Calcule as potências:
Calcule
:
Agora a constante multiplicativa:
Multiplicando tudo:
Primeiro
. Então
Passo 5
Agora a variação de entropia
. Fórmula básica:
Substituindo
:
Logo
Lembrete:
. Assim
Passo 6
Cálculo numérico de
com os mesmos valores:
Constante:
Multiplicando:
Primeiro
. Então
Passo 7
Pequena checagem de sentido físico (sanity check): aquecer poucas átomos numa faixa tão baixa de temperatura rende uma energia pequena (alguns joules) e entropia pequena (fração de J/K) — os valores obtidos são compatíveis com isso. Se você repetir a conta com mais átomos ou intervalos de temperatura maiores, os resultados crescem rapidamente porque aparecem potências altas de
nas expressões.