35- A baixas temperaturas, o calor específico por átomo de um sólido é dado por \mathrm{cat}=430(\mathrm{~T} / \mathrm{TD}) 3 \mathrm{J} / \mathrm{K}, sendo \mathrm{TD}^{\mathrm{C}}=300 \mathrm{~K} a chamada temperatura de Debye, característica deste sólido.
(a) Calcule a variação de energia para elevar a temperatura de 7 átomos de 10 K a 20 K .
(b) Calcule a variação de entropia para elevar a temperatura de 7 átomos de 10 K a 20 K .

Passo 1

O enunciado dá o calor específico por átomo e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Dado: calor específico por átomo
c_{\text{at}}(T)=430\left(\frac{T}{T_D}\right)^3\\ \text{J/K}.
  • Dado: temperatura de Debye \;T_D=300\\ \text{K} (peguei esse valor do enunciado).
  • Dado: número de átomos N=7.
  • Condição inicial: temperatura \;T_1=10\\ \text{K}.
  • Condição final: temperatura \;T_2=20\\ \text{K}.
Perguntas:
(a) Calcular a variação de energia \Delta U ao aquecer os 7 átomos de \;T_1 para \;T_2.
(b) Calcular a variação de entropia \Delta S ao aquecer os 7 átomos de \;T_1 para \;T_2.

Passo 2

Entendendo as fórmulas básicas que vamos usar (aulas curtinhas e diretas).
  • Para um aquecimento reversível a volume constante, a variação de energia interna associada ao aquecimento é dada por
\mathrm{d}U = C(T)\,\mathrm{d}T,
onde C(T) é a capacidade térmica total do sistema (em J/K). Aqui temos a capacidade por átomo c_{\text{at}}(T), então a capacidade térmica total é
C(T)=N\;c_{\text{at}}(T).
Explicando cada símbolo:
  • \mathrm{d}U é a pequena variação de energia interna (J),
  • C(T) é a capacidade térmica total em função de T (J/K),
  • N é o número de átomos (aqui 7),
  • c_{\text{at}}(T) é o calor específico por átomo (J/K).
  • A variação de energia entre \;T_1 e \;T_2 é a integral
\Delta U = \int_{T_1}^{T_2} C(T)\,\mathrm{d}T = N\int_{T_1}^{T_2} c_{\text{at}}(T)\,\mathrm{d}T.

Passo 3

Montando a integral para \Delta U usando a expressão dada para c_{\text{at}}(T).
Substituindo c_{\text{at}}(T)=430\left(\dfrac{T}{T_D}\right)^3 na integral:
\Delta U = N \int_{T_1}^{T_2} 430\left(\frac{T}{T_D}\right)^3 \mathrm{d}T.
Colocando constantes fora da integral:
\Delta U = N\cdot 430\cdot \frac{1}{T_D^3}\int_{T_1}^{T_2} T^3 \,\mathrm{d}T.
Agora integramos T^3. Lembrete: \displaystyle\int T^3\,\mathrm{d}T = \frac{T^4}{4}. Portanto
\Delta U = N\cdot 430\cdot \frac{1}{T_D^3}\cdot \left[\frac{T^4}{4}\right]_{T_1}^{T_2} = N\cdot \frac{430}{4\,T_D^3}\left(T_2^4-T_1^4\right).

Passo 4

Agora vamos calcular numericamente \Delta U passo a passo com os valores dados:
  • N=7,
  • T_D=300\\ \text{K},
  • T_2=20\\ \text{K}, T_1=10\\ \text{K}.
Calcule as potências:
T_2^4 = 20^4 = 160000, \qquad T_1^4 = 10^4 = 10000,
T_2^4 - T_1^4 = 160000 - 10000 = 150000.
Calcule T_D^3:
T_D^3 = 300^3 = 27\,000\,000.
Agora a constante multiplicativa:
\frac{430}{4\,T_D^3}=\frac{430}{4\cdot 27\,000\,000}=\frac{430}{108\,000\,000}\approx 3,98148148\times10^{-6}.
Multiplicando tudo:
\Delta U = 7 \times 150000 \times 3,98148148\times10^{-6}.
Primeiro 7\times150000=1\,050\,000. Então
\Delta U \approx 1\,050\,000 \times 3,98148148\times10^{-6}\approx 4,18\\ \text{J}.

Passo 5

Agora a variação de entropia \Delta S. Fórmula básica:
\Delta S = \int_{T_1}^{T_2} \frac{C(T)}{T}\,\mathrm{d}T = N\int_{T_1}^{T_2} \frac{c_{\text{at}}(T)}{T}\,\mathrm{d}T.
Substituindo c_{\text{at}}(T)=430\left(\dfrac{T}{T_D}\right)^3:
\frac{c_{\text{at}}(T)}{T} = 430\left(\frac{T}{T_D}\right)^3\frac{1}{T} =430\cdot\frac{T^2}{T_D^3}.
Logo
\Delta S = N\cdot 430\cdot\frac{1}{T_D^3}\int_{T_1}^{T_2} T^2\,\mathrm{d}T.
Lembrete: \displaystyle\int T^2\,\mathrm{d}T = \frac{T^3}{3}. Assim
\Delta S = N\cdot \frac{430}{3\,T_D^3}\left(T_2^3-T_1^3\right).

Passo 6

Cálculo numérico de \Delta S com os mesmos valores:
T_2^3 = 20^3 = 8000, \qquad T_1^3 = 10^3 = 1000,
T_2^3 - T_1^3 = 8000 - 1000 = 7000.
Constante:
\frac{430}{3\,T_D^3}=\frac{430}{3\cdot 27\,000\,000}=\frac{430}{81\,000\,000}\approx 5,30864198\times10^{-6}.
Multiplicando:
\Delta S = 7 \times 7000 \times 5,30864198\times10^{-6}.
Primeiro 7\times7000=49\,000. Então
\Delta S \approx 49\,000 \times 5,30864198\times10^{-6}\approx 0,260\\ \text{J/K}.

Passo 7

Pequena checagem de sentido físico (sanity check): aquecer poucas átomos numa faixa tão baixa de temperatura rende uma energia pequena (alguns joules) e entropia pequena (fração de J/K) — os valores obtidos são compatíveis com isso. Se você repetir a conta com mais átomos ou intervalos de temperatura maiores, os resultados crescem rapidamente porque aparecem potências altas de T nas expressões.

Resposta

\Delta U \approx 4,18\\ \text{J}
\Delta S \approx 0,260\\ \text{J/K}

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