9.36 A seção de uma viga composta, de alma cheia, consiste em uma chapa de
e quatro perfis angulares de
. Determine os momentos de inércia da seção em relação aos eixos baricêntricos indicadose os raías de gíra ção.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente que se determine os momentos de inércia da seção composta em relação aos eixos baricêntricos indicados e também os raios de giração. Informações fornecidas pelo enunciado e pela figura (usadas na resolução):
- Uma chapa (alma) de dimensões
(altura , espessura ). - Quatro perfis angulares
(cada um formado por duas chapas retangulares: uma de e outra de , com sobreposição na esquina). - Distância total entre extremidades superior e inferior indicada na figura:
(logo o eixo horizontal passa pelo ponto situado a da borda superior). - Nas direções horizontais, cada flange (perna horizontal do ângulo) se projeta
para cada lado (conforme marcação na figura); a espessura do conjunto vertical (alma) é . - Objetivos numéricos: calcular
(momento de inércia em torno do eixo horizontal que passa por ), (momento de inércia em torno do eixo vertical que passa por ), e os raios de giração e . - Observação de montagem (pela figura): os ângulos estão colocados em pares em cima e embaixo, cada ângulo com a perna vertical (70 mm) junto à alma e a perna horizontal (100 mm) formando as “alas”. A seção é simétrica em relação aos eixos horizontal e vertical, portanto o centroide do conjunto coincide com o ponto
do centro da alma e o produto de inércia .
Passo 2
Vou decompor a seção em peças padrão para somar as contribuições por teorema dos eixos paralelos: uma placa (alma) + quatro ângulos (cada ângulo = retângulo horizontal + retângulo vertical − quadrado de sobreposição). Fórmulas que vamos usar e o que significam:
- Área de um retângulo:
, onde e são as dimensões do retângulo. - Momento de inércia de um retângulo em torno de seu eixo centroidal paralelo à base (eixo horizontal):
, onde é a dimensão na direção vertical. - Momento de inércia de um retângulo em torno de seu eixo centroidal paralelo à altura (eixo vertical):
, onde é a dimensão na direção horizontal. - Teorema dos eixos paralelos: para deslocar um momento de inércia de um eixo centroidal para um eixo paralelo distante
, usa-se . - Para cada ângulo:
(duas retângulos menos a área sobreposta).
Agora calculemos as áreas e momentos centroidais de cada peça.
Passo 3
Cálculo das áreas (tudo em mm e mm^2):
- Alma (placa):
- Retângulo perna horizontal do ângulo:
- Retângulo perna vertical do ângulo:
- Sobreposição (quadrado) no canto:
- Área de um ângulo:
- Área total da seção (alma + 4 ângulos):
Passo 4
Posições dos centróides das peças (medidas a partir da borda superior em vertical e a partir do eixo vertical central em horizontal), obtidas pela decomposição:
- Coordenadas verticais dentro do ângulo (medidas para cada ângulo a partir da aresta superior onde a perna horizontal está localizada):
- perna horizontal (100×10): centro a
abaixo da borda superior (metade da espessura). - perna vertical (70×10): centro a
abaixo da borda superior (metade de ). - sobreposição (10×10): centro a
abaixo da borda superior.
- perna horizontal (100×10): centro a
- Centroide vertical do ângulo (composto) medido da borda superior:
- Como a altura total mostrada é
, o eixo horizontal passa a da borda superior. Assim a distância vertical do centroid do ângulo até o eixo (para os ângulos do topo) é
- Coordenadas horizontais (distâncias ao eixo
central): - A face interna do ângulo (canto) fica imediatamente fora da alma; a alma tem espessura
, então o canto do ângulo está a do eixo . - centroides das peças do ângulo medidos horizontalmente a partir do canto:
- perna horizontal:
do canto (metade de 100) ⇒ distância ao eixo : . - perna vertical:
do canto (metade da espessura) ⇒ distância ao eixo : . - sobreposição:
do canto ⇒ distância ao eixo : .
- perna horizontal:
- A face interna do ângulo (canto) fica imediatamente fora da alma; a alma tem espessura
Passo 5
Momentos de inércia centroidais das peças retangulares (fórmulas aplicadas com
horizontal e
vertical):
- Perna horizontal (100×10):
-
- Perna vertical (70×10) — aqui
(vertical), (espessura): -
- Sobreposição (10×10):
-
Passo 6
Cálculo de
(eixo horizontal que passa por
). Vamos somar contribuição da alma (diretamente em seu centroid) mais as quatro ângulos (cada ângulo vale duas retângulos menos o quadrado). Para cada peça aplicamos teorema dos eixos paralelos com deslocamento vertical
até o eixo
.
Primeiro, alma (está centrada no eixo
):
Calculemos numericamente:
Agora, contribuição de um ângulo (topo direito, por exemplo). Usamos as distâncias verticais dos centroides das peças ao eixo
:
-
(perna horizontal), -
(perna vertical), -
(sobreposição).
Aplicando o teorema dos eixos paralelos (lembrar de subtrair a sobreposição):
Substituindo valores:
Calculemos os termos com
:
-
, então e . -
, então .
Agora os somatórios:
Há 4 ângulos idênticos, então:
Finalmente,
Passo 7
Cálculo de
(eixo vertical que passa por
). Alma (web) tem pequena contribuição pois a espessura é pequena:
Agora, para um ângulo, somamos as contribuições das peças deslocadas horizontalmente até o eixo
. Distâncias horizontais (da figura e cálculos do passo 4):
- perna horizontal: distância ao eixo
: . - perna vertical:
. - sobreposição:
.
Usando o teorema dos eixos paralelos (e subtraindo a sobreposição):
Substituindo números:
Calcule os termos:
-
⇒ . -
⇒ e .
Somando:
Quatro ângulos:
Somando com a alma:
Passo 8
Produto de inércia e simetrias:
- A seção é simétrica em relação aos eixos
e indicados (simetria superior/inferior e esquerda/direita), portanto o produto de inércia em torno do centróide é
Passo 9
Cálculo dos raios de giração. Definição: o raio de giração em relação a um eixo é
, onde
é o momento de inércia em torno do eixo e
a área total.
- Temos
. - Para o eixo
:
- Para o eixo
: