9.36 A seção de uma viga composta, de alma cheia, consiste em uma chapa de 787,5 \mathrm{~mm} \times 10 \mathrm{~mm} e quatro perfis angulares de 100 \mathrm{~mm} \times 70 \mathrm{~mm} \times 10 \mathrm{~mm}. Determine os momentos de inércia da seção em relação aos eixos baricêntricos indicadose os raías de gíra ção.

Passo 1

O enunciado pede explicitamente que se determine os momentos de inércia da seção composta em relação aos eixos baricêntricos indicados e também os raios de giração. Informações fornecidas pelo enunciado e pela figura (usadas na resolução):
  • Uma chapa (alma) de dimensões 787{,}5\\ \text{mm}\times10\\ \text{mm} (altura \,h_{\text{web}}=787{,}5\\ \text{mm}, espessura t=10\\ \text{mm}).
  • Quatro perfis angulares 100\times70\times10\\ \text{mm} (cada um formado por duas chapas retangulares: uma de 100\times10 e outra de 70\times10, com sobreposição 10\times10 na esquina).
  • Distância total entre extremidades superior e inferior indicada na figura: 800\\ \text{mm} (logo o eixo horizontal x passa pelo ponto C situado a 400\\ \text{mm} da borda superior).
  • Nas direções horizontais, cada flange (perna horizontal do ângulo) se projeta 100\\ \text{mm} para cada lado (conforme marcação na figura); a espessura do conjunto vertical (alma) é 10\\ \text{mm}.
  • Objetivos numéricos: calcular \,I_x (momento de inércia em torno do eixo horizontal que passa por C), \,I_y (momento de inércia em torno do eixo vertical que passa por C), e os raios de giração k_x e k_y.
  • Observação de montagem (pela figura): os ângulos estão colocados em pares em cima e embaixo, cada ângulo com a perna vertical (70 mm) junto à alma e a perna horizontal (100 mm) formando as “alas”. A seção é simétrica em relação aos eixos horizontal e vertical, portanto o centroide do conjunto coincide com o ponto C do centro da alma e o produto de inércia I_{xy}=0.

Passo 2

Vou decompor a seção em peças padrão para somar as contribuições por teorema dos eixos paralelos: uma placa (alma) + quatro ângulos (cada ângulo = retângulo horizontal + retângulo vertical − quadrado de sobreposição). Fórmulas que vamos usar e o que significam:
  • Área de um retângulo: \,A=b\cdot h, onde b e h são as dimensões do retângulo.
  • Momento de inércia de um retângulo em torno de seu eixo centroidal paralelo à base (eixo horizontal): \displaystyle I_{x,\text{cent}}=\frac{b\,h^{3}}{12}, onde h é a dimensão na direção vertical.
  • Momento de inércia de um retângulo em torno de seu eixo centroidal paralelo à altura (eixo vertical): \displaystyle I_{y,\text{cent}}=\frac{h\,b^{3}}{12}, onde b é a dimensão na direção horizontal.
  • Teorema dos eixos paralelos: para deslocar um momento de inércia de um eixo centroidal para um eixo paralelo distante d, usa-se \,I=I_{\text{cent}}+A d^{2}.
  • Para cada ângulo: A_{\text{L}}=A_{\text{h}}+A_{\text{v}}-A_{\text{o}} (duas retângulos menos a área sobreposta).
Agora calculemos as áreas e momentos centroidais de cada peça.

Passo 3

Cálculo das áreas (tudo em mm e mm^2):
  • Alma (placa): A_{\text{web}}=787{,}5\cdot10=7875\\ \text{mm}^2.
  • Retângulo perna horizontal do ângulo: A_{\text{h}}=100\cdot10=1000\\ \text{mm}^2.
  • Retângulo perna vertical do ângulo: A_{\text{v}}=70\cdot10=700\\ \text{mm}^2.
  • Sobreposição (quadrado) no canto: A_{\text{o}}=10\cdot10=100\\ \text{mm}^2.
  • Área de um ângulo:
A_{L}=1000+700-100=1600\\ \text{mm}^2.
  • Área total da seção (alma + 4 ângulos):
A_{\text{tot}}=7875+4\cdot1600=7875+6400=14275\\ \text{mm}^2.

Passo 4

Posições dos centróides das peças (medidas a partir da borda superior em vertical e a partir do eixo vertical central em horizontal), obtidas pela decomposição:
  • Coordenadas verticais dentro do ângulo (medidas para cada ângulo a partir da aresta superior onde a perna horizontal está localizada):
    • perna horizontal (100×10): centro a 5\\ \text{mm} abaixo da borda superior (metade da espessura).
    • perna vertical (70×10): centro a 35\\ \text{mm} abaixo da borda superior (metade de 70).
    • sobreposição (10×10): centro a 5\\ \text{mm} abaixo da borda superior.
  • Centroide vertical do ângulo (composto) medido da borda superior:
y_{L}=\frac{A_{\text{h}}\cdot5 + A_{\text{v}}\cdot35 - A_{\text{o}}\cdot5}{A_{L}} =\frac{1000\cdot5 +700\cdot35 -100\cdot5}{1600} =\frac{28500}{1600}=17{,}8125\\ \text{mm}.
  • Como a altura total mostrada é 800\\ \text{mm}, o eixo horizontal x passa a 400\\ \text{mm} da borda superior. Assim a distância vertical do centroid do ângulo até o eixo x (para os ângulos do topo) é
d_{y,\text{ângulo}}=400-17{,}8125=382{,}1875\\ \text{mm}.â
  • Coordenadas horizontais (distâncias ao eixo y central):
    • A face interna do ângulo (canto) fica imediatamente fora da alma; a alma tem espessura 10\\ \text{mm}, então o canto do ângulo está a 5\\ \text{mm} do eixo y.
    • centroides das peças do ângulo medidos horizontalmente a partir do canto:
      • perna horizontal: 50\\ \text{mm} do canto (metade de 100) ⇒ distância ao eixo y: 5+50=55\\ \text{mm}.
      • perna vertical: 5\\ \text{mm} do canto (metade da espessura) ⇒ distância ao eixo y: 5+5=10\\ \text{mm}.
      • sobreposição: 5\\ \text{mm} do canto ⇒ distância ao eixo y: 5+5=10\\ \text{mm}.

Passo 5

Momentos de inércia centroidais das peças retangulares (fórmulas aplicadas com b horizontal e h vertical):
  • Perna horizontal (100×10):
    • \displaystyle I_{x,\text{h}}=\frac{b\,h^{3}}{12}=\frac{100\cdot10^{3}}{12}= \frac{100\cdot1000}{12}=8333{,}333\\ \text{mm}^4.
    • \displaystyle I_{y,\text{h}}=\frac{h\,b^{3}}{12}=\frac{10\cdot100^{3}}{12}=\frac{10\cdot1\,000\,000}{12}=833333{,}333\\ \text{mm}^4.
  • Perna vertical (70×10) — aqui h=70 (vertical), b=10 (espessura):
    • \displaystyle I_{x,\text{v}}=\frac{10\cdot70^{3}}{12}=\frac{10\cdot343000}{12}=285833{,}333\\ \text{mm}^4.
    • \displaystyle I_{y,\text{v}}=\frac{70\cdot10^{3}}{12}=\frac{70\cdot1000}{12}=5833{,}333\\ \text{mm}^4.
  • Sobreposição (10×10):
    • \displaystyle I_{x,\text{o}}=I_{y,\text{o}}=\frac{10\cdot10^{3}}{12}=833{,}333\\ \text{mm}^4.

Passo 6

Cálculo de \,I_x (eixo horizontal que passa por C). Vamos somar contribuição da alma (diretamente em seu centroid) mais as quatro ângulos (cada ângulo vale duas retângulos menos o quadrado). Para cada peça aplicamos teorema dos eixos paralelos com deslocamento vertical d_y até o eixo x.
Primeiro, alma (está centrada no eixo x):
I_{x,\text{web}}=\frac{10\cdot787{,}5^{3}}{12}.
Calculemos numericamente:
787{,}5^{3}=488\,373\,046{,}875\quad\Rightarrow\quad I_{x,\text{web}}=\frac{10\cdot488\,373\,046{,}875}{12}=406\,977\,539{,}0625\\ \text{mm}^4.
Agora, contribuição de um ângulo (topo direito, por exemplo). Usamos as distâncias verticais dos centroides das peças ao eixo x:
  • d_{y,\text{h}}=400-5=395\\ \text{mm} (perna horizontal),
  • d_{y,\text{v}}=400-35=365\\ \text{mm} (perna vertical),
  • d_{y,\text{o}}=395\\ \text{mm} (sobreposição).
Aplicando o teorema dos eixos paralelos (lembrar de subtrair a sobreposição):
I_{x,\text{ângulo}}=\big(I_{x,\text{h}}+A_{\text{h}}d_{y,\text{h}}^{2}\big) +\big(I_{x,\text{v}}+A_{\text{v}}d_{y,\text{v}}^{2}\big) -\big(I_{x,\text{o}}+A_{\text{o}}d_{y,\text{o}}^{2}\big).â
Substituindo valores:
I_{x,\text{ângulo}}= \big(8333{,}333 +1000\cdot395^{2}\big) +\big(285833{,}333 +700\cdot365^{2}\big) -\big(833{,}333 +100\cdot395^{2}\big).â
Calculemos os termos com d^2:
  • 395^{2}=156025, então 1000\cdot156025=156025000 e 100\cdot156025=15602500.
  • 365^{2}=133225, então 700\cdot133225=93257500.
Agora os somatórios:
I_{x,\text{ângulo}}=(8333{,}333+156025000)+(285833{,}333+93257500)-(833{,}333+15602500).â
I_{x,\text{ângulo}}=156033333{,}333 +93543333{,}333 -15603333{,}333 =233973333{,}333\\ \text{mm}^4\\ \text{(por ângulo)}.ââ
Há 4 ângulos idênticos, então:
I_{x,\text{ângulos totais}}=4\cdot233973333{,}333=935893333{,}333\\ \text{mm}^4.â
Finalmente,
I_{x,\text{total}}=I_{x,\text{web}}+I_{x,\text{ângulos totais}} =406977539{,}0625 +935893333{,}333 \approx1\,342\,870\,872{,}396\\ \text{mm}^4.â

Passo 7

Cálculo de \,I_y (eixo vertical que passa por C). Alma (web) tem pequena contribuição pois a espessura é pequena:
I_{y,\text{web}}=\frac{787{,}5\cdot10^{3}}{12}=\frac{787{,}5\cdot1000}{12}=65\,625\\ \text{mm}^4.
Agora, para um ângulo, somamos as contribuições das peças deslocadas horizontalmente até o eixo y. Distâncias horizontais (da figura e cálculos do passo 4):
  • perna horizontal: distância ao eixo y: d_{x,\text{h}}=5+50=55\\ \text{mm}.
  • perna vertical: d_{x,\text{v}}=5+5=10\\ \text{mm}.
  • sobreposição: d_{x,\text{o}}=10\\ \text{mm}.
Usando o teorema dos eixos paralelos (e subtraindo a sobreposição):
I_{y,\text{ângulo}}=\big(I_{y,\text{h}}+A_{\text{h}}d_{x,\text{h}}^{2}\big) +\big(I_{y,\text{v}}+A_{\text{v}}d_{x,\text{v}}^{2}\big) -\big(I_{y,\text{o}}+A_{\text{o}}d_{x,\text{o}}^{2}\big).â
Substituindo números:
I_{y,\text{ângulo}}=(833333{,}333 +1000\cdot55^{2})+(5833{,}333 +700\cdot10^{2})-(833{,}333 +100\cdot10^{2}).â
Calcule os termos:
  • 55^{2}=3025 1000\cdot3025=3\,025\,000.
  • 10^{2}=100 700\cdot100=70\,000 e 100\cdot100=10\,000.
Somando:
I_{y,\text{ângulo}}=(833333{,}333+3\,025\,000)+(5833{,}333+70\,000)-(833{,}333+10\,000).â
I_{y,\text{ângulo}}=3\,858\,333{,}333 +75\,833{,}333 -10\,833{,}333 =3\,923\,333{,}333\\ \text{mm}^4\\ \text{(por ângulo)}.ââ
Quatro ângulos:
I_{y,\text{ângulos totais}}=4\cdot3\,923\,333{,}333=15\,693\,333{,}333\\ \text{mm}^4.â
Somando com a alma:
I_{y,\text{total}}=65\,625 +15\,693\,333{,}333 =15\,758\,958{,}333\\ \text{mm}^4.

Passo 8

Produto de inércia e simetrias:
  • A seção é simétrica em relação aos eixos x e y indicados (simetria superior/inferior e esquerda/direita), portanto o produto de inércia em torno do centróide é
I_{xy}=0.

Passo 9

Cálculo dos raios de giração. Definição: o raio de giração em relação a um eixo é k=\sqrt{I/A}, onde I é o momento de inércia em torno do eixo e A a área total.
  • Temos A_{\text{tot}}=14275\\ \text{mm}^2.
  • Para o eixo x:
k_x=\sqrt{\frac{I_{x,\text{total}}}{A_{\text{tot}}}} =\sqrt{\frac{1\,342\,870\,872{,}396}{14\,275}} \approx\sqrt{94\,071{,}20}\approx306{,}73\\ \text{mm}.
  • Para o eixo y:
k_y=\sqrt{\frac{I_{y,\text{total}}}{A_{\text{tot}}}} =\sqrt{\frac{15\,758\,958{,}333}{14\,275}} \approx\sqrt{1\,103{,}75}\approx33{,}22\\ \text{mm}.

Resposta

I_{x}=1{,}342\,870\,872\\ \text{mm}^4
I_{y}=15\,758\,958\\ \text{mm}^4
k_{x}=306{,}7\\ \text{mm}
k_{y}=33{,}22\\ \text{mm}
I_{xy}=0

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