Uma força F=5 \mathrm{Ni}+10 \mathrm{Nj}-3 \mathrm{Nk} é aplicada no ponto \vec{r}=2 \mathrm{mi}-4 \mathrm{mj}+1 \mathrm{mk}. Calcule o momento M em relação à origem.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes vetores (peguei os componentes do próprio enunciado):
Posição do ponto de aplicação relativa à origem: \vec{r}=2\,\mathrm{m}\mathbf{i}-4\,\mathrm{m}\mathbf{j}+1\,\mathrm{m}\mathbf{k}.
O que o problema pede: calcular o momento (torque) \vec{M} da força \vec{F} em relação à origem.
Passo 2
O momento (ou torque) de uma força em relação a um ponto é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição e o vetor força:
\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}.
Aqui:
\vec{r} é o vetor posição que vai do ponto de referência (origem) até o ponto de aplicação da força; suas unidades são metros (\mathrm{m}).
\vec{F} é o vetor força; suas unidades são newtons (\mathrm{N}).
O resultado \vec{M} tem unidade \mathrm{N\cdot m} e é um vetor perpendicular tanto a \vec{r} quanto a \vec{F}. O módulo de \vec{M} é |\vec{M}|=|\vec{r}|\,|\vec{F}|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{r} e \vec{F}. Na prática calculamos as componentes usando a regra do determinante.
Passo 3
Para calcular o produto vetorial usamos o determinante da matriz formada pelas bases \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} e pelas componentes de \vec{r} e \vec{F}:
Concluímos os cálculos das três componentes (já detalhadas acima). As unidades são \mathrm{N\cdot m}\). Se quiser uma checagem rápida, é possível usar a fórmula componente a componente
\[\begin{cases} M_x = r_yF_z - r_zF_y,\\[4pt] M_y = r_zF_x - r_xF_z,\\[4pt] M_z = r_xF_y - r_yF_x, \end{cases}
e verificar que produz os mesmos números M_x=2\], \(M_y=11, M_z=40.]