Uma força F=5 \mathrm{Ni}+10 \mathrm{Nj}-3 \mathrm{Nk} é aplicada no ponto \vec{r}=2 \mathrm{mi}-4 \mathrm{mj}+1 \mathrm{mk}. Calcule o momento M em relação à origem.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes vetores (peguei os componentes do próprio enunciado):
  • Força: \vec{F}=5\,\mathrm{N}\mathbf{i}+10\,\mathrm{N}\mathbf{j}-3\,\mathrm{N}\mathbf{k}.
  • Posição do ponto de aplicação relativa à origem: \vec{r}=2\,\mathrm{m}\mathbf{i}-4\,\mathrm{m}\mathbf{j}+1\,\mathrm{m}\mathbf{k}.
O que o problema pede: calcular o momento (torque) \vec{M} da força \vec{F} em relação à origem.

Passo 2

O momento (ou torque) de uma força em relação a um ponto é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição e o vetor força:
\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}.
Aqui:
  • \vec{r} é o vetor posição que vai do ponto de referência (origem) até o ponto de aplicação da força; suas unidades são metros ( \mathrm{m}).
  • \vec{F} é o vetor força; suas unidades são newtons ( \mathrm{N}).
    O resultado \vec{M} tem unidade \mathrm{N\cdot m} e é um vetor perpendicular tanto a \vec{r} quanto a \vec{F}. O módulo de \vec{M} é |\vec{M}|=|\vec{r}|\,|\vec{F}|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{r} e \vec{F}. Na prática calculamos as componentes usando a regra do determinante.

Passo 3

Para calcular o produto vetorial usamos o determinante da matriz formada pelas bases \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} e pelas componentes de \vec{r} e \vec{F}:
\vec{M} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ r_x & r_y & r_z \\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.
Substituindo as componentes dadas:
\vec{M} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & -4 & 1 \\\\ 5 & 10 & -3 \end{vmatrix}.
Vou calcular cada componente separadamente usando a expansão por cofatores.

Passo 4

Componente \mathbf{i} (primeira componente):
M_x = \begin{vmatrix} -4 & 1 \\\\ 10 & -3 \end{vmatrix} = (-4)\cdot(-3) - 1\cdot 10 = 12 - 10 = 2.
Interpretação rápida: peguei as entradas da segunda e terceira colunas (ignorando a coluna da \mathbf{i}) e calculei o determinante 2×2.

Passo 5

Componente \mathbf{j} (segunda componente) — lembrar do sinal negativo na regra de Sarrus/expansão:
M_y = - \begin{vmatrix} 2 & 1 \\\\ 5 & -3 \end{vmatrix} = -\big(2\cdot(-3) - 1\cdot 5\big) = -\big(-6 -5\big) = -(-11) = 11.
Expliquei: subtrai-se porque o cofator da componente \mathbf{j} tem sinal negativo.

Passo 6

Componente \mathbf{k} (terceira componente):
M_z = \begin{vmatrix} 2 & -4 \\\\ 5 & 10 \end{vmatrix} = 2\cdot10 - (-4)\cdot5 = 20 - (-20) = 40.

Passo 7

Concluímos os cálculos das três componentes (já detalhadas acima). As unidades são \mathrm{N\cdot m}\). Se quiser uma checagem rápida, é possível usar a fórmula componente a componente \[\begin{cases} M_x = r_yF_z - r_zF_y,\\[4pt] M_y = r_zF_x - r_xF_z,\\[4pt] M_z = r_xF_y - r_yF_x, \end{cases}
e verificar que produz os mesmos números M_x=2\], \(M_y=11, M_z=40.]

Resposta

\vec{M}=2\,\mathrm{N\cdot m}\,\mathbf{i}+11\,\mathrm{N\cdot m}\,\mathbf{j}+40\,\mathrm{N\cdot m}\,\mathbf{k}

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