Uma força F=10 \mathrm{Ni} é aplicada no ponto \vec{r}=3 \mathrm{mj}. Determine o momento M em relação à origem.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados:
  • Força: \mathbf{F}=10\,\mathrm{N}\,\mathbf{i}.
  • Posição do ponto de aplicação em relação à origem: \mathbf{r}=3\,\mathrm{m}\,\mathbf{j}.
O que o problema pede:
  • Determinar o momento \mathbf{M} da força em relação à origem (o torque relativo à origem).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento (torque) de uma força em relação a um ponto: o momento é um vetor dado pelo produto vetorial (cross product) entre o vetor posição \mathbf{r} e o vetor força \mathbf{F}. Em fórmula:
\mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
Significados:
  • \mathbf{r} é o vetor que vai da origem até o ponto onde a força é aplicada (unidade: \mathrm{m}).
  • \mathbf{F} é a força aplicada (unidade: \mathrm{N}).
  • \mathbf{M} terá unidade \mathrm{N\cdot m}.
    Intuição: o produto vetorial gera um vetor perpendicular ao plano formado por \mathbf{r} e \mathbf{F}; a direção é dada pela regra da mão direita e o módulo é |\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\,\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{F}.

Passo 3

Escrevemos os vetores em componentes (tridimensionais), colocando zeros nas componentes ausentes:
\mathbf{r}=0\,\mathbf{i}+3\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}, \qquad \mathbf{F}=10\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.

Passo 4

Calculamos o produto vetorial usando o determinante:
\mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ 10 & 0 & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo por cofatores obtemos as componentes:
M_x = r_y F_z - r_z F_y = 3\cdot 0 - 0\cdot 0 = 0,
M_y = r_z F_x - r_x F_z = 0\cdot 10 - 0\cdot 0 = 0,
M_z = r_x F_y - r_y F_x = 0\cdot 0 - 3\cdot 10 = -30.
Portanto
\mathbf{M}=0\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}-30\,\mathbf{k}.

Passo 5

Uma forma mais rápida (mesma ideia) é usar as propriedades dos vetores unitários: \mathbf{j}\times\mathbf{i}=-\mathbf{k}. Assim
\mathbf{M}=(3\,\mathbf{j})\times(10\,\mathbf{i})=30\,(\mathbf{j}\times\mathbf{i})=30(-\mathbf{k})=-30\,\mathbf{k}.
A direção negativa em \mathbf{k} (isto é, -\mathbf{k}) significa que o torque aponta para baixo no eixo z usando a regra da mão direita: com \mathbf{r} para + y e \mathbf{F} para + x, a rotação tende a apontar em -z.

Passo 6

Verificação pelo módulo: |\mathbf{r}|=3\,\mathrm{m}, |\mathbf{F}|=10\,\mathrm{N}, ângulo \theta=90^\circ entre \mathbf{r} e \mathbf{F}, então
|\mathbf{M}|=|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\,\sin\theta=3\cdot 10\cdot 1=30\,\mathrm{N\cdot m},
compatível com a componente -30 em \mathbf{k}.

Resposta

\mathbf{M}=-30\,\mathrm{N\,m}\,\mathbf{k}

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